SKKN Một số giải pháp nâng cao hiệu quả giảng dạy loại bài tập về số chính phương cho học sinh giỏi Lớp 8 ở trường Trung học cơ sở

 Mã số
- Tên sáng kiến: “Một số giải pháp nâng cao hiệu quả giảng dạy loại bài tập 
 về số chính phương cho học sinh giỏi lớp 8 ở trường trung học cơ sở”.
 - Lĩnh vực áp dụng: Lĩnh vực tự nhiên
 - Họ tên tác giả: Nguyễn Thị Thanh Nga 
 - Đơn vị công tác: Trường TH & THCS Tân Phong
 Tân phong, tháng 01/2019
 1 8- Nếu hai số nguyên liên tiếp có tích là một số chính phương thì một trong hai số 
nguyên đó là số 0.
* Giải pháp 2: Phân loại các dạng bài tập.
 1. Loại bài tập “Nhận dạng xem một số có là số chính phương không”
 2. Loại bài tập “Chứng minh một số là số chính phương”.
 3. Loại bài tập “Chứng minh một số không là số chính phương”.
 4. Loại bài tập “Tìm số chính phương”.
 5. Loại bài tập “Tìm giá trị của biến để biểu thức là số chính phương”.
* Giải pháp 3: Hướng dẫn cách giải đối với mỗi loại bài tập, đưa ra ví dụ cụ 
thể và lời giải chi tiết.
 1. Loại bài tập “Nhận dạng xem một số có là số chính phương không”
Trong dạng bài tập này nếu theo định nghĩa về số chính phương thì các số trong các 
bài tập đề cập đến quá nhiều chữ số, rất khó phát hiện nó là bình phương của số nào 
ngay cả khi sử dụng máy tính cầm tay vì số chữ số của mỗi số tràn màn hình. Nếu 
giáo viên không phát hiện ra tính chất của số chính phương thì sẽ không thể giải 
được bài tập loại này. Do đó để giải được loại bài tập này tôi đã hướng dẫn học 
sinh phát hiện và nên sử dụng tính chất nào của số chính phương thì mới giải được.
 Ví dụ 1: Hãy xét xem các số sau có phải là số chính phương không?
 M = 1345678910111213
 N = 1234567891011121314151617
 P = 1234567891011121314151617181920212223
 Giáo viên hướng dẫn: Để xét xem các số cụ thể trên có là số chính phương 
không, ta sử dụng tính chất của số chính phương đó là “số chính phương không tận 
cùng bởi các chữ số 2; 3; 7; 8”
Giải
Trước tiên ta xét chữ số tận cùng của các số M, N, P
M = 1345678910111213 có chữ số tận cùng là 3
 N = 1234567891011121314151617 có chữ số tận cùng là 7
 P = 1234567891011121314151617181920212223 có chữ số tận cùng là 3
 Vậy M, N, P đều không phải là số chính phương.
Ví dụ 2: Các số sau có là số chính phương không?
 A 19922 19932 19942
 B 19922 19932 19942 19952
 P 1 9100 94100 1994100
 3 c) C = 444 8889
 푛 + 1 푠ố 4 푛 푠ố 8
Giáo viên hướng dẫn: Khi biến đổi một số trong đó có nhiều chữ số giống nhau 
thành một số chính phương tức là biến đổi chúng về bình phương của một tổng 
hoặc một hiệu ta nên đặt111 =a và như vậy: 999+ 1 = 10푛 = 9a +1
 푛 푛
Giải
 a, A = 111 -222 = 111000 +111 - 2.111
 2푛 푠ố 1 푛 푠ố 2 푛 푠ố 1 푛 푠ố 0 푛 푠ố 1 푛 푠ố 1
 = 111 .10푛 - 111
 푛 푠ố 1 푛 푠ố 1
 Đặt 111 =a 999 = 9a 9a +1 = 10푛
 n 푛 푠ố 9
 Do đó A = a(9a + 1) – a = 9a2 3a 2 = (333)2 là một số chính phương.
 푛 푠ố 3
 b, B = 224 999 10009
 푛 ― 2 푠ố 9 푛 푠ố 0
 = 224.102푛 + 999 10푛+2 +10푛+1 +9
 푛 ― 2 푠ố 9
 = 224.102푛 + (10푛―2 ―1)10푛+2 + 10푛+1 +9
 = 224.102푛 + 102푛 - 10푛+2 +10푛+1 +9
 = 225.102푛 - 9. 10푛+1+ 9
 = 225.102푛 - 90. 10푛+ 9
 2
 = 1510n 3 
 Vậy B là một số chính phương
 c, C = 444 8889
 푛 + 1 푠ố 4 푛 푠ố 8
 = 4. 111 .10푛+1 + 8. 111 + 1
 푛 + 1 푠ố 1 푛 + 1 푠ố 1
 10n 1 1 10n 1 1 
 = 4. .10푛+1 +8. + 1
 9 9
 2
 4.102n 2 4.10n 1 1 2.10n 1 1 
 = = 
 9 3 
Vì 2.10n 1 1 luôn chia hết cho 3 nên C là một số chính phương.
Ví dụ 2: Cho S = 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + ...+ k(k + 1)(k + 2) (k N).
Chứng minh rằng 4S + 1 là số chính phương.
 5 Giáo viên hướng dẫn: Xét số dư trong phép chia số đó cho 3.
Giải
a, Gọi ba số chính phương liên tiếp là n 1 2 ;n2 ; n 1 2
Tổng của chúng là n 1 2 n2 n 1 2 = n2 2n 1 n2 n2 2n 1=3n2 2
Tổng này chia cho 3 dư 2 nên không phải là số chính phương.
b,Ta viết S thành tổng của 10 nhóm, mỗi nhóm 3 số hạng.
S = 12 22 32 ... 302 = 12 22 32 42 52 62 ... 282 292 302 
Mỗi nhóm chia cho 3 dư 2 nên
S = 3k1 2 3k2 2 ... 3k10 2 
S = 3k1 3k2 ... 3k10 18 2
S = 3k + 2 (trong đó k = k1 k2 ... k10 6 )
S chia cho 3 dư 2 nên S không phải là số chính phương.
Ví dụ 2: Chứng minh rằng: A = 12 22 32 42 ... 1002 không là số chính 
phương.
 Giáo viên hướng dẫn: Với cách làm ở ví dụ 1 thì A chia cho 3 dư 1, ta chưa 
khẳng định được điều gì. Nên chuyển hướng xét số dư khi A chia cho 4 
Giải
A gồm 50 số chính phương chẵn, 50 số chính phương lẻ. Mỗi số chính phương chẵn chia 
hết cho 4 nên tổng của 50 số đó chia hết cho 4. Mỗi số chính phương lẻ chia cho 4 dư 1 
nên tổng của 50 số đó chia cho 4 dư 2.
A là số chia cho 4 dư 2, không là số chính phương.
Ví dụ 3: Chứng minh rằng tổng các bình phương của 5 số tự nhiên liên tiếp 
không thể là một số chính phương.
 Giáo viên hướng dẫn:Chứng minh tổng các bình phương của 5 số tự nhiên 
liên tiếp chứa số nguyên tố với số mũ lẻ.
Giải
Gọi 5 số tự nhiên liên tiếp đó là n - 2, n - 1, n, n +1, n + 2 ( n N, n >2).
Ta có (n - 2)2 + ( n - 1)2 + n2 + (n + 1)2 + (n + 2)2 = 5 . (n2 + 2)
Vì n2 không thể tận cùng bởi 3 hoặc 8 do đó n2 + 2 không thể chia hết cho 5 
=> 5.(n2 + 2) không là số chính phương hay A không là số chính phương.
Ví dụ 4:Cho a, b, c là các chữ số khác 0. Gọi S là tổng của tất cả các số có 3 chữ số 
tạo thành bởi cả 3 chữ số a, b, c. Chứng minh rằng S không phải là số chính phương.
 Giáo viên hướng dẫn: Viết S= + + + + + sau đó 
viết mỗi số hạng ở dạng cấu tạo số.
 7 Tổng các chữ số của k là một số chính phương k = 45
 abcd = 2025. Vậy số phải tìm là: 2025.
Ví dụ 3 : Tìm một số chính phương gồm 4 chữ số biết rằng số gồm 2 chữ số 
đầu lớn hơn số gồm 2 chữ số sau một đơn vị.
 Giáo viên hướng dẫn: Làm như ví dụ 1
Giải
Đặt abcd k 2 ta có ab cd 1 và k N, 32 k < 100 
 = + 1; k2 = = 1000a + 100b + = 100 + 
 = 100(1 + ) + = 101 + 100
Suy ra : 101 cd = k2 – 100 = (k – 10)(k + 10) k + 10  101 hoặc k – 10  101 
Mà (k – 10; 101) = 1 k + 10  101
Vì 32 k < 100 nên 42 k + 10 < 110 k + 10 = 101 k = 91
 abcd = 912 = 8281. Vậy số chính phương cần tìm là 8281.
 5. Loại bài tập “Tìm giá trị của biến để biểu thức là số chính phương”.
 Ở loại bài tập này cần đặt cả biểu thức trong đề bài là bình phương của một 
số tự nhiên, sau đó biến đổi theo hướng có sử dụng tính chất của số chính phương.
Ví dụ 1: Tìm tất cả các số tự nhiên n sao cho n 2 + 1234 là một số chính 
phương.
 Giáo viên hướng dẫn: Đặtn 2 + 1234 = k2 (k N). Sau đó biến đổi để có hiệu 
hai bình phương chính là hiệu của hai số chính phương, rồi xét số dư khi chia cho 
4.
Giải
Đặt n2 + 1234 =k2 (k N) hay k 2 n2 1234 . Số 1234 chia cho 4 dư 2 mà k 2 n 2 là 
hiệu của hai số chính phương chia cho 4 không có số dư là 2.
Do đó không có số tự nhiên nào để cho n2 + 1234 là số chính phương.
Ví dụ 2: Tìm các số tự nhiên k để cho số 2k 24 27 là số chính phương.
 Giáo viên hướng dẫn: Như ví dụ 1 đặt 2k 24 27 a2 (a N) sau đó làm xuất 
hiện hiệu của hai số chính phương.
Giải
Đặt 2k 24 27 a2 (a N) 2k a2 144 (a 12)(a 12)
 a 12 2m
 (m, n N; m > n và m + n = k ) 
 n
 a 12 2
 Suy ra 2m 2n 24 8.3 2n (2m n 1) 23.3
 2n 23;2m n 4 22 m n 2 m 5;n 3; k = m + n =8.
Thử lại ta thấy 28 24 27 400 202 . Vậy k = 8.
 9 Do đó x2 – 8x =-7 (x - 7)(x - 1) = 0 x 1;7
Vậy x 1;0;1;4;7;8;9 thì A = x(x - 1)(x - 7)(x - 8) là số chính phương.
*Giải pháp 4: Đưa ra các bài tập áp dụng cho từng loại bài tập
Bài tập áp dụng cho loại 1:
Bài 1: Có thể dùng cả năm chữ số 2, 3, 4, 5, 6 lập thành số chính phương có năm 
chữ số được không?
Hướng dẫn: Áp dụngtính chất 4- Số chính phương chỉ có thể có một trong hai dạng 
3n hoặc 3n +1. Không có số chính phương nào có dạng 3n + 2 ( n N ).
(Số có năm chữ số tạo bởi các chữ số 2, 3, 4, 5, 6 là số chia cho 3 dư 2 nên không 
là số chính phương ).
Bài 2: Các số sau có là số chính phương không?
 a) A = 22...24(có 50 chữ số 2)
 b) B = 44...4(Có 100 chữ số 4)
 c) C = 19947 + 7
 Giáo viên hướng dẫn: Áp dụng tính chất 3- Số chính phương chỉ có thể có một 
trong hai dạng 4n hoặc 4n+1. Không có số chính phương nào có dạng 4n + 2 hoặc 
4n + 3 (n N).
 Và tính chất 4- Số chính phương chỉ có thể có một trong hai dạng 3n hoặc 3n 
+1. Không có số chính phương nào có dạng 3n + 2 ( n N ).
Bài tập áp dụng cho loại 2:
Bài 1 Chứng minh rằng số sau đây là số chính phương.
A = 11 ... 1 + 44 ... 4 + 1
 2n chữ số 1 n chữ số 4
B = 11 ... 1 + 11 . . .1 + 66 . . . 6 + 8
2n chữ số 1 n+1 chữ số 1 n chữ số 6
C= 44 . . . 4 + 22 . . . 2 + 88 . . . 8 + 7
2n chữ số 4 n+1 chữ số 2 n chữ số 8
 2 2 2
 10n 2 10n 8 2.10n 7 
Kết quả: A= ; B ; C 
 3 3 3 
Bài 2 Chứng minh rằng:
a, Nếu số n là tổng của hai số chính phương thì 2n cũng là tổng của hai số chính 
phương.
 11 b) a2 + 81
 c) a2 + 31a + 1984
Kết quả: a) 2; 42; 13
 b) 0; 12; 40 
 c) 12 ; 33 ; 48 ; 97 ; 176 ; 332 ; 565 ; 1728
Bài 4: Tìm số tự nhiên n sao cho các số sau là số chính phương
a) n2 + 2n + 12 b) n(n + 3)
c) 13n + 3 d) n2 + n + 1589
Kết quả: a, n =4
 b, n = 1
 c, n = 13k2 8k + 1 (với k N)
 d, 푛 = {1588 ; 316 ; 43 ; 28}
 + Về khả năng áp dụng của sáng kiến:
 Qua thời gian trực tiếp nghiên cứu và giảng dạy bồi dưỡng học sinh giỏi tôi 
nhận thấy nội dung sáng kiến này rất khả thi, có thể áp dụng phổ biến được trong 
lĩnh vực bồi dưỡng học sinh giỏi toán khối 8, thậm chí cho cả lĩnh vực bồi dưỡng 
học sinh giỏi môn toán cấp trung học cơ sở trong toàn huyện, đặc biệt phù hợp cho 
các trường chất lượng cao.
 Mong rằng, nội dung của sáng kiến này sẽ được nhân rộng và sử dụng rộng 
rãi cho các giáo viên bồi dưỡng học sinh giỏi môn toán và học sinh trong đội tuyển 
học sinh giỏi trong toàn huyện trong các năm học tiếp theo.
- Đánh giá lợi ích thu được hoặc dự kiến có thể thu được do áp dụng sáng kiến 
theo ý kiến của tác giả và theo ý kiến của tổ chức, cá nhân đã tham gia áp 
dụng sáng kiến lần đầu:
+ Đánh giá lợi ích thu được hoặc dự kiến có thể thu được theo ý kiến tác giả: 
 - Đối với học sinh làm các bài toán về số chính phương một cách linh hoạt 
hơn, các em không còn thấy lạ, thấy khó nữa tự tin hơn. Từ đó kích thích được sự 
tò mò, sự sáng tạo, ham học hỏi, khám phá cái mới lạ trong học tập môn Toán nói 
riêng và các môn khoa học khác nói chung. Đặc biệt nhiều em học sinh đã vận 
dụng phương pháp giải bài toán một cách hợp lý nên đã giải được nhiều bài toán 
hay, bài toán khó và có những lời giải độc đáo .
 - Học sinh giải bài tập về số chính phương hết ít thời gian hơn, không cần 
phải học thêm ngoài nhà trường, giảm chi phí về kinh tế cho phụ huynh.
 - Đối với giáo viên được nâng cao trình độ chuyên môn, nghiệp vụ tự tin hơn 
trong công tác giảng dạy.
 13