SKKN Khai thác và phát triển bài toán Hình học 8 nhằm phát triển kỹ năng giải toán của học sinh

 Đề tài sáng kiến kinh nghiệm
 KHAI THÁC VÀ PHÁT TRIỂN BÀI TOÁN HÌNH HỌC 8 NHẰM 
 PHÁT TRIỂN KỸ NĂNG GIẢI TOÁN CỦA HỌC SINH
I. Phần mở đầu
 I.1. Lý do chọn đề tài
 - Toán học là một nghành khoa học tự nhiên, nó có mối quan hệ với nhiều 
nghành khoa học khác và được vân dụng nhiều trong thực tế cuộc sống của mỗi 
con người.
 - Mục tiêu của dạy học toán học trong cuộc sống là:
 + Trang bị cho học sinh những kiến thức về toán học.
 + Rèn luyện kỹ năng toán học
 + Phát triển tư duy toán học cho học sinh đồng thời hình thành và phát triển 
nhân cách cho học sinh.
 - Là một giáo viên trực tiếp giảng dạy bộ môn toán tại trường THCS, trên cơ 
sở nắm vững mục tiêu của dạy học bộ môn tôi nhận thấy rằng việc phát triển tư 
duy toán học cho học sinh nói chung và nhất là đối tượng khá giỏi thì việc hình 
thành kĩ năng giải các bài tập toán là rất quan trọng. Để làm được như vậy giáo 
viên cần giúp học sinh biết khai thác, mở rộng kết quả các bài tập cơ bản, xâu 
chuỗi các bài toán để học sinh khắc sâu kiến thức tạo lối mòn – tô đậm mạch 
kiến thức, suy nghĩ tìm tòi những kết quả mới từ những bài toán ban đầu.
 - Nhưng trong thực tế chúng ta chưa làm được điều đó một cách thường 
xuyên, vẫn còn trong giáo viên chúng ta chưa có thói quen khai thác một bài 
toán, một chuỗi bài toán liên quan, hay chí ít là tập hợp những bài toán có một 
số đặc điểm tương tự (về kiến thức, hình vẽ hay về yêu cầu ). Trong giải toán 
nếu chúng ta chỉ dừng lại ở việc tìm ra kết quả của bài toán, lâu dần làm cho học 
sinh khó tìm được mối liên hệ giữa các kiến thức đã học, không có thói quen suy 
nghĩ theo kiểu đặt câu hỏi, liệu có bài nào tương tự mà ta đã gặp rồi? Cho nên 
khi bắt đầu giải một bài toán mới học sinh không biết bắt đầu từ đâu? Cần vận 
dụng kiến thức nào? Bài toán liên quan đến những bài toán nào đã gặp mà có thể 
vận dụng hay tương tự ở đây?
 Trong quá trình dạy học hay bồi dưỡng học sinh giỏi, tôi thấy rằng việc tìm 
tòi mở rộng các bài toán quen thuộc thành bài toán mới tìm các cách giải khác 
nhau cho một bài toán để từ đó khắc sâu kiến thức cho học sinh là một hướng 
đem lại nhiều điều hiệu quả cho việc dạy học. Quá trình này bắt đầu từ các bài 
toán đơn giản đến bài toán khó dần là bước đi phù hợp để rèn luyện kỹ năng các 
thao tác trong lập luận về phân tích – trình bày lời giải góp phần rèn luyện năng 
lực tư duy cho học sinh. 
 Nhằm khắc phục những khó khăn trong việc hướng dẫn học sinh giải toán 
hình học, tôi đã rút ra một số kinh nghiệm và trong đề tài này tôi xin trình bày 
việc hướng dẫn học sinh “Khai thác và phát triển một vài bài toán hình học 8 
nhằm phát triển kỹ năng giải toán của học sinh”.
Trường THCS Băng AĐrênh Giáo viên Đặng Anh Phương 1 Đề tài sáng kiến kinh nghiệm
đưa các bài tập xâu chuỗi kiến thức trong chương trình toán 8 như: Phần tứ giác, 
diện tích đa giác, diện tích các đa giác đặc biệt, bất đẳng thức, bất đẳng thức 
cosi, từ dễ đến khó.
II.2. Thực trạng
 a/ Thuận lợi - Khó khăn:
 * Thuận lợi:
 - Trường THCS Trường THCS Băng AĐrênh , ngay cạnh trung tâm xã, 
được sự quan tâm chỉ đạo của chính quyền địa phương, của ngành nên thuận lợi 
trong công tác giảng dạy.
 - Học sinh của trường chủ yếu là dân tộc kinh, trình độ học vấn, hiểu biết và 
tính tư duy độc lập tốt nên việc triển khai các chuyên đề nâng cao cho học sinh 
khá dễ dàng. Học sinh nhanh chóng tiếp thu được kiến thức mới.
 - Đa số phụ huynh học sinh rất quan tâm đến vấn đề học tập của học sinh
 * Khó khăn
 - Xã Băng AĐrênh địa bàn dân cư trải dài giáp với huyện Kcuin nên học 
sinh sống xa trường, đi lại khó khăn, đẫn đến khó triển khai được các buổi học 
thêm để triển khai các chuyên đề, các chương trình nâng cao cho học sinh.
 - Đa số học sinh cảm thấy khó học phân môn hình học do các em không thể 
nhớ hay xâu chuỗi các kiến thức với nhau. Do các e không chịu học phần định 
nghĩa, khái niệm, tính chất, dấu hiệu nhận biết đã được học ở các tiết lí thuyết, 
mà đây lại là vấn đề quan trọng yêu cầu học sinh phải nắm và hiểu được trước 
khi làm bài tập.
 b/ Thành công- hạn chế
 * Thành công
 - Khối lớp 8 của trường THCS Trường THCS Băng AĐrênh có số lượng học 
sinh khá giỏi tương đối nên thuận lợi cho việc triển khai chuyên đề. Khi triển 
khai chuyên đề, chất lượng học sinh khá giỏi tốt nên việc tiếp thu kiến thức mới 
và kiến thức khó của các em rất tốt và các em nhanh chóng nắm được các kiến 
thức.
 * Hạn chế
 - Chuyên đề triển khai trên tất cả học sinh khối 8 nhưng một số học sinh vẫn 
chưa chịu đầu tư, nghiên cứu dẫn đến chưa thể nắm vững nội dung, phương 
pháp mà giáo viên đã đưa ra.
 c/ Mặt mạnh- mặt yếu
Trường THCS Băng AĐrênh Giáo viên Đặng Anh Phương 3 Đề tài sáng kiến kinh nghiệm
 - Hình thành kĩ năng giải và trình bày bài toán hình học cho học sinh từ bài 
toán đơn giản. Tăng dần lượng kiến thức, chuyển từ bài toán đơn giản đã biết 
cách giải sang bài toán phức tập hơn.
 * Giải pháp:
 - Tạo tâm lí thoải mái cho học sinh, không có gì khó khăn khi giải và trình 
bày bài tập hình học. Cần khuyến khích học sinh tự giải và tự trình bày sau khi 
giáo viên đã giảng giải.
 - Giáo viên đóng vai trò là người hướng dẫn, dẫn dắt học sinh tìm ra lời giải 
bài toán, học sinh chủ động lĩnh hội kiến thức.
 - Giáo viên luôn tạo môi trường thân thiện giữa thầy và trò. Không quá tỏ vẻ 
xa cách hay quá lớn lao và cao cả đối với học sinh. Luôn tạo cho học sinh một 
cảm giác gần gũi, không làm cho học sinh cảm thấy sợ hãi. Dạy thật, học thật 
ngay từ đầu. Dạy theo điều kiện thực tế không quá áp đặt chủ quan.
 b/ Nội dung và cách thực hiện 
 Xuất phát từ bài 18 trang 121 Sgk toán 8 tập 1:
Cho tam giác ABC, M là trung điểm của BC. Chứng minh rằng: SAMB = SAMC
Bài toán trên ta dễ chứng minh được.
Chúng ta sẽ dễ dàng giải được bài toán sau:
Bài toán 1: ABC vuông tại A, AM là trung tuyến. Gọi P, Q là hình chiếu của 
 1
M trên AC, AB. Chứng minh rằng: SAQMP = SABC
 2
 Hướng dẫn:
 A
 P
 Q
 C
 B M
Dễ thấy P, Q lần lượt là trung điểm của AC, AB. Áp dụng bài toán trên ta có:
 1
SAMP = SMPC = SAMC
 2
 1
SAMQ = SBMQ = SABM
 2
 1
 SAMP + SAMQ = (SAMC + SABM)
 2
 1
 SAQMP = SABC.
 2
Ta thấy nếu điểm M di chuyển trên BC thì S AQMP cũng sẽ thay đổi và thay đổi 
như thế nào. Ta có bài toán sau:
Trường THCS Băng AĐrênh Giáo viên Đặng Anh Phương 5 Đề tài sáng kiến kinh nghiệm
 CP PM
 => CP.QB PM.MQ
 MQ QB
 CP. QB. AP.AQ = (PM.MQ)2 ( Vì AP = MQ; AQ =PM)
Nên ta có cách giải khác:
Cách 3: Dễ thấy AQMP là hình chữ nhật
 SAQMP = PM. MQ
 AC.AB
 SABC = S = 
 2
Ta có: AC = AP + PC 2 AP.PC ( BĐT côsi)
 AB = AQ + QB 2 AQ.QB (BĐT côsi)
 AC . AB 4 AP.PC.AQ.QB
Ta lại có: CPM ∽ MQB (g.g)
 CP PM
 => CP.QB PM.MQ
 MQ QB
 CP. QB. AP.AQ = (PM . MQ)2 ( Vì AP = MQ; AQ =PM)
Suy ra: AC . AB 4. PM . MQ
 S
 2S 4SAQMP SAQMP .
 2
 S
Vậy maxSAQMP = khi PC = CA và QA = QB hay M là trung điểm của BC.
 2
 Nhận xét 1: Về cách giải, ở bài toán 2 để tìm vị trí của điểm M sao cho diện 
tích APMQ lớn nhất, ta phải xét mối liên hệ giữa diện tích APMQ với diện tích 
tam giác ABC.
 Mặt khác, ta nhận thấy rằng nếu lấy điểm E đối xứng với điểm M qua AB, 
điểm F đối xứng với điểm M qua AC thì 3 điểm E,A,F thẳng hàng ( Bài 159 sách 
bài tập toán 8, tập một) và diện tích tam giác MEF gấp hai lần diện tích tứ giác 
AQMP. Vì vậy, ta có thể phát biểu thành một bài toán mới như sau:
 Bài toán 2.1: Cho tam giác ABC vuông tại A; M di chuyển trên cạnh BC. Gọi 
E,F lần lượt là điểm đối xứng của M qua AB và AC. Xác định vị trí của điểm M 
để diện tích tam giác MEF lớn nhất.
 Hướng dẫn: 
 A
 E F
 Q P
 C
 M
 B
Dễ dàng chứng minh được EAQ = MAQ 
Và MAP = FAP nên ta có: E· AF 1800
Và SAEQ = SMAQ ; SAMP = SFAP
Suy ra SFEM = 2SAQMP. 
Đến đây ta giải giống bài toán 2.
Trường THCS Băng AĐrênh Giáo viên Đặng Anh Phương 7 Đề tài sáng kiến kinh nghiệm
Ta có: MPC = MGI (g.c.cg)
SMPC = SMGI và MP = MG
Do đó SAQMP = SKQMG 
( Vì AQMP và KQMG là hình bình hành)
Lại có SABC SAQMP + SKQMI + SMPC
 SABC SAQMP + SKQMI + SMGI
 SABC 2SAQMP.
 Như vậy sau khi giải xong các bài toán trên ta rút ra được phương pháp 
giải tổng quát cho một số bài toán diện tích bằng cách tạo ra hình bình 
hành nội tiếp tam giác. Kết quả cũng như cách giải của bài toán 2.1 sẽ được 
vận dụng giải cho các bài tập sau:
 S
 Nhận xét 3: Từ bài toán 2.2 ta thấy SAQMP đạt giá trị lớn nhất bằng khi M 
 2
là trung điểm của BC với S = S ABC. Khi đó tổng diện tích hai tam giác QMB và 
PMC đạt giá trị nhỏ nhất.
 - Ở bài toán 2.2, xét trường hợp điểm M nằm trong tam giác ABC. Lúc đó, 
qua M kẻ các đường thẳng song song với các cạnh của tam giác ABC, cắt các 
cạnh AB, BC, CA lần lượt tại các điểm Q, H, N, K, G, P. Áp dụng kết quả của 
bài toán 2.2 ta chứng minh đựơc S1+S2+S3 ≥ S :3 ( S là diện tích tam giác ABC). 
Từ đó ta có bài toán 2.3.
Bài toán 2.3 : Cho tam giác ABC, M là điểm nằm trong tam giác. Qua M kẻ các 
đường thẳng song song với các cạnh của tam giác cắt các cạnh AB, BC, CA lần 
lượt tại Q, H, N, K, G, P. Gọi S1 = SQHM, S2 = SNMK, S3 = SPMG ; S = SABC.
 S
 a) Chứng minh S + S + S ≥ 
 1 2 3 3
 b) Tìm vị trí của điểm M để S1 + S2 + S3 nhỏ nhất.
 Hướng dẫn giải :
 A
 Q P
 S1 S3 G
 H M
 S2
 C
 B N K
 a)
a) Xét tam giác AHG có : 
Hình bình hành AQMP nội tiếp trong tam giác.
Áp dụng kết quả cách 2 của bài toán 2.2, ta có : 
 1
 S1 + S2 S . Tương tự : 
 2 AHG
 1
Với tam giác BQK ta có : S1 + S2 S
 2 BQK
Trường THCS Băng AĐrênh Giáo viên Đặng Anh Phương 9 Đề tài sáng kiến kinh nghiệm
 1 
 S S
 MKIQ 2 AIB 1
  SMKIQ S NKIP SAIB SAIC 
 1 2
 S S 
 NKIP 2 AIC  
 1
 SMNPQ S
 2 ABC
 1 1 1
Vậy MaxSMNPQ = S xảy ra khi SMKIQ = S và SNKIP = SAIC
 2 ABC 2 AIB 2
Các đẳng thức xảy ra khi M là trung điểm của AB, N là trung điểm của AC ( Áp 
dụng kết quả bài toán 2.2). Vậy khi M là trung điểm của AB thì hình chữ nhật 
MNPQ có diện tích lớn nhất. 
 - Việc biết cách chuyển bài toán 2.6 về để áp dụng kết quả của bài toán 2.2 
đã giúp cho việc giải bài toán một cách nhẹ nhàng và nhanh chóng hơn, góp 
phần củng cố các kết quả thu được khi giải bài toán 2 và bài toán 2.2.
Cách 2 : Từ cách giải bài toán 2, nhìn vào hình vẽ, học sinh có thể nghĩ ngay 
đến việc tính tỉ số diện tích tứ giác MNPQ và diện tích tam giác ABC bằng cách 
kẻ đường cao AI của tam giác ABC.
Lúc đó : 
SMNPQ = MN. MQ
 1
SABC = AI. BC
 2
 SMNPQ MN.MQ MN MQ AK KI AK.KI
Suy ra 2. 2. . 2. . 2.
 2
 SABC AI.BC BC AI AI AI AK KI 
Mà ( AK + KI)2 4. AK.KI
 AK.KI AK.KI S 1 1
Suy ra 2. 2. Hay MNPQ S .S
 2 MNPQ ABC
 AK KI 4.AK.KI SABC 2 2
 1
Vậy SMNPQ lớn nhất bằng .SABC khi M là trung điểm của AB.
 2
Cách 3 : Kẻ AI  BC ; AI cắt MN tại K
Đặt AI = h ; BC = a ; MN = x ; MQ = y. Khi đó : KI = y ; AK = a- y
SABC = SAM N + SMNPQ + SNPC + SBMQ
 1 1 1
 a. h = x. (h - y) + x. y + ( NP. PC + MQ. BQ)
 2 2 2
Mà NP = MQ = KI = y
 1 1 1
Nên: a. h = x. (h - y) + x. y + y. ( PC + BQ)
 2 2 2
Mà PC + BQ = BC – QP = a – x
 1 1 1
 a. h = x. (h - y) + x. y + y( a – x ) 
 2 2 2
 h a x 
 a.h = xh + ay y = .
 a
 h a x h
Vậy SMNPQ = xy = x. = x a x 
 a a
Trường THCS Băng AĐrênh Giáo viên Đặng Anh Phương 11