SKKN Hướng dẫn học sinh dùng phương pháp phân tích bình phương để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức

 Sáng kiến kinh nghiệm 
 MỤC LỤC 
 A. ĐẶT VẤN ĐỀ. 
 2 
I. Lý do chọn đề tài....................................................................................... 
 2 
II. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu............................................................ 
 2 
III. Mục tiêu, nhiệm vụ nghiên cứu.............................................................. 
 2 
1. Mục tiêu nghiên cứu.................................................................................. 2 
2. Nhiệm vụ nghiên cứu................................................................................ 3 
IV.Phương pháp nghiên cứu ......................................................................... 3 
V. Những đóng góp mới của đề tài................................................................ 
 B. PHẦN NỘI DUNG 4 
I. Cơ sở khoa học ........................................................................................ 4 
1. Cơ sở lý luận............................................................................................. 4 
 4 
2. Cơ sở thực tiễn........................................................................................... 
 4 
II. Thực trạng của vấn đề .............................................................................. 
 4 
1. Thuận lợi................................................................................................... 
2. Hạn chế..................................................................................................... 5 
III.Hướng dẫn học sinh giải dạng toán bất đẳng thức với khoảng giá trị của 5 
biến trong chương trình toán Trung học cơ sở .............................................. 
 5 
1. Khái niệm.................................................................................................. 5 
2. Hằng đẳng thức......................................................................................... 6 
3. Chú ý khi giải ........................................................................................... 6 
4. Một số bài toán ........................................................................................ 11 
Dạng 1. Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của biểu thức chứa một biến 18 
Dạng 2. Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của biểu thức chứa một biến 
IV. Kết quả đạt được .................................................................................... 19 
 19 
 C. KẾT LUẬN 
 19 
I. Những bài học kinh nghiệm...................................................................... 
 20 
II. Ý nghĩa của sáng kiến.............................................................................. 
 21 
III. Khả năng ứng dụng và khai triển............................................................ 
IV. Kiến nghị, đề xuất .................................................................................. 
Danh mục tài liệu tham khảo........................................................................ 
 Năm học: 2021 - 2022 1 Sáng kiến kinh nghiệm 
 - Nghiên cứu chương trình sách giáo khoa, sách tham khảo về bài toán cực trị. 
 - Tiến hành điều tra tìm hiểu thực tiễn của học sinh về việc giải các bài toán 
tìm cực trị của biểu thức. 
 - Xác định các biện pháp sư phạm để áp dụng phương pháp dạy học phù hợp. 
 - Thực hiện sư phạm để kiểm định tính khả thi của đề tài. 
IV. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU. 
 Thực hiện đề tài này, tôi đã sử dụng các phương pháp nghiên cứu sau: 
 - Phương pháp nghiên cứu tài liệu. 
 - Phương pháp phân loại các bài toán 
 - Phương pháp phân tích, đánh giá, tổng hợp. 
 - Phương pháp điều tra thực tế. 
 - Phương pháp thực nghiệm giáo dục để kiểm định tính khả thi của đề tài. 
 - Phương pháp thống kê, tổng hợp. 
V. NHỮNG ĐÓNG GÓP MỚI CỦA ĐỀ TÀI. 
 Trong thực tiễn có rất nhiều tài liệu liên quan đến cực trị của biểu thức. 
Nhưng thông qua đề tài này học sinh có được cách nhìn tổng quan, hiểu sâu bản 
chất và có phương pháp vận dụng tốt hơn để giải toán. Nhằm nâng cao chất lượng 
học tập của học sinh. 
 Đề tài không những là nguồn tài liệu tham khảo cho đội ngũ giáo viên đang 
giảng dạy trực tiếp và bồi dưỡng học sinh giỏi nhằm nâng cao chất lượng mà còn 
là tài liệu bổ ích cho hs khối 8, 9 và học sinh thi vào lớp 10 Trung học phổ thông 
và Trung học phổ thông chuyên. 
 Năm học: 2021 - 2022 3 Sáng kiến kinh nghiệm 
 Nhiều giáo viên rất tâm huyết với công tác dạy học, tích cực đổi mới phương 
pháp dạy học để không ngừng nâng cao chất lượng của bộ môn. 
2. Hạn chế. 
 Trên thực tế tài liệu viết về “Toán tìm cực trị của biểu thức” thì rất nhiều 
nhưng cụ thể viết về phương pháp giải dạng toán cực trị bằng phương pháp phân 
tích bình phương, thì rất ít hầu hết chỉ là các bài tập ở dạng đơn lẻ, do đó nhiều 
giáo viên gặp khó khăn khi gặp dạng toán này để dạy cho học sinh một cách có hệ 
thống. 
 Đối với học sinh 
 + Không nắm được phần lí thuyết cơ bản của bài học hoặc nắm nội dung bài 
học một cách thụ động, nên trong quá trình làm bài tập còn gặp nhiều khó khăn, 
lúng túng. 
 + Không phân tích được bài toán theo nhiều hướng khác nhau, không sử 
dụng hết các dữ kiện của bài toán.... 
 + Không biết vận dụng hoặc vận dụng chưa thành thạo các phương pháp suy 
luận trong giải toán, không biết sử dụng các bài toán giải mẫu hoặc áp dụng 
phương pháp giải một cách thụ động. 
 + Không chịu suy nghĩ tìm các cách giải khác nhau cho một bài toán hay mở 
rộng lời giải tìm được cho các bài toán khác, do đó hạn chế trong việc rèn luyện 
năng lực giải toán. 
 + Việc đầu tư cho thời gian tự đọc sách tham khảo của các em học sinh còn 
hạn chế. 
III. HƯỚNG DẪN HỌC SINH SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH 
BÌNH PHƯƠNG ĐỂ TÌM GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT, GIÁ TRỊ LỚN NHẤT CỦA 
MỘT BIỂU THỨC. 
 1. Khái niệm. 
 1.1. Cho biểu thức f(x, y...) 
 Ta nói M là giá trị lớn nhất của biểu thức f(x, y...), kí hiệu maxf = M, nếu 
hai điều kiện sau được thỏa mãn: 
 - Với mọi x,y ...để f(x, y...) xác định thì 
 f(x, y...) M (M là hằng số) 
 - Tồn tại x0 , y0 ... sao cho 
 f( , ...) = M 
 1.2. Cho biểu thức f(x, y...) 
 Năm học: 2021 - 2022 5 Sáng kiến kinh nghiệm 
Suy ra giá trị nhỏ nhất của P bằng 4 khi x− 1 = 0 hay x = 1. 
 2 2 2
 2 2 2 3 3 3 3 9
b) Qx=2x − 6x = 2(x − 3x) = 2 x − 2x + − 2. = 2 − − 
 2 2 2 2 2
 2 2
 3 3 9 9
Vì 20 x − với mọi x nên Q = 2 x − − − với mọi x. 
 2 2 2 2
 2
 9 3 3
Suy ra giá trị nhỏ nhất của Q bằng − khi x −=0 hay x = . 
 2 2 2
Bài 2. (Bài 20 Sách bài tập Toán 8 tập 1). 
 Tìm giá trị lớn nhất của đa thức. 
 a) A= 4x−+x2 3. 
 b) C = 2x−− 2x2 5. 
Phân tích bài toán. 
 Với bài toán 2a) áp dụng chú ý (3b) học sinh dễ dàng thực hiện được, còn với 
bài 2b) khó khăn hơn là hệ số của hạng tử x2 không phải là số chính phương 
(không kể dấu). Vấn đề là biết biến đổi 
 2x− 2x22 − 5 = − 2( xx −) − 5. Sau đó áp dụng chú ý (3b) bài toán được giải 
quyết. 
 Lời giải 
 a) A= 4x−+=−x22 3( x − 4x +++=−− 4) 4 3( x 2)2 + 7 . 
 Vì −( x −20)2 với mọi x nên A = −( x −2)2 + 7 7 với mọi x. 
Suy ra giá trị lớn nhất của A bằng 7 khi x −=20 hay x = 2. 
 b) 
 2 2 2
 2 2 2 1 1 1 1 9
 2x2x52−−=−(x −−=− x) 52 x − 2.. x + + 2. −=−− 52 x − . 
 2 2 2 2 2
 2 2
 1 1 9 9
Vì −20 x − với mọi x nên B = −2 x − − − với mọi x. 
 2 2 2 2
 9 1 1
Suy ra giá trị lớn nhất của B bằng − khi x −=0 hay x = . 
 2 2 2
Khai thác bài toán. 
1. Bài toán tổng quát. 
 Cho tam thức bậc hai P=ax2 + b x + c . 
 a) Tìm giá trị nhỏ nhất của P nếu a 0 . 
 b) Tìm giá trị lớn nhất của P nếu a 0 . 
 Lời giải 
 Năm học: 2021 - 2022 7 Sáng kiến kinh nghiệm 
 2
 a) A= x −2 x − 4 + 3 =( x − 4 − 1) + 6 6 ( x 4) . 
 2
 2 2 3
 b) B=+− x4x22x33 +−=++( x 1) ( 2x31 +−− −) 8 8 x − . 
 2
 2
 c)C=3x12x162 −++−+= x8x17 4 2 3( x −++ 2)2 4( x 2 −+ += 4) 1 4 13 . 
 d) D =x2 +6x + 10 + 3 2x 2 +12x + 27 +4 x 4 − 18x 2 + 82 
 222
 =(x +++3) 13 2( x +++ 3) 94 ( x2 −+ + 9) 1 23 9 
4. Từ bài 1b ta có 
Q= 2x2− 6x = x 2 + (x 2 −+−=+−−=+− 6x 9) 9 x 2 (xy 3) 2 9 x 2 2 9 (đặt yx=−3) 
Thêm điều kiên bài toán xy−=3. Ta có bài toán mới sau. 
Bài 1.5. Cho . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức. 
 Q = x922+−y . 
Bài toán tương tự. 
Bài 1.6. Cho xy+=2 . 
 a) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = x22+ y . 
 (Đề thi thử kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 năm học 2012 - 2013). 
 b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: A = xy . 
 11 11
5. Từ bài 1a) P = (x− 1)2 + 4 4 nên (theo tính chất a b thì với a, b 
 P 4 ab
cùng dấu) do đó có thể chuyển bài toán về dạng sau. 
 1
Bài 1.7. a) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: A = . 
 x2 −+ 2x 5
 b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 
 3
 B = với x 1 − 2 2,1 + 2 2 . 
 2+ 2x−+ x2 7 
 3x2 + 6x + 10
Bài 1.8. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = 
 xx2 ++23
 (Đề thi HSG Toán 8 huyện Lâm Thao - Phú Thọ, năm học 2009 - 2010). 
 3x2 + 6x + 10 1 1
Hướng dẫn: P = =33 + + . 
 xx2 ++2 3(x ++12)2 2
Bài 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức. 
 a) A = ( x2 +5x + 4)( x + 2)( x + 3) 
 Năm học: 2021 - 2022 9