Sáng kiến kinh nghiệm Sử dụng hiệu quả tính chất đường phân giác trong bài toán hình học

 Mục lục
 Nội dung Trang
 A – Đặt vấn đề 2
I. Lời mở đầu: 2
1. Lý do chọn đề tài. 2
2. Mục đích - nhiệm vụ đề tài. 2
3. Phạm vi, đối tượng nghiên cứu của đề tài. 3
II. Phương pháp nghiên cứu. 3
1. Vai trò của tính chất đường phân giác trong tam giác trong việc giải 3
toán.
2. Nghiên cứu tài liệu: 3
3. Những biện pháp tác động và giải pháp khoa học tiến hành. 4
 B – Giải quyết vấn đề 4
I. Cơ sở lý luận. 4
1. Mục tiêu. 5
2. Cấu trúc 5
II. Thực trạng của vấn đề. 6
1. Tình hình nhà trường. 6
2. Số liệu điều tra trước khi thực hiện. 6
III. Nội dung cụ thể của đề tài. 6
IV. Kết quả thực hiện. 14
 C – Kết luận và khuyến nghị 15
I. Kết luận 15
II. Các đề xuất và khuyến nghị 15
1. Đề xuất 15
2. Khuyến nghị 15
 1 Nhằm nâng cao năng lực học toán, sự tìm tòi, sáng tạo của học sinh.
 Bồi dưỡng học sinh đã nắm vững kiến thưc cơ bản trở thành học sinh khá, 
học sinh khá trở thành học sinh giỏi.
 Phát huy sự đam mê yêu thích học toán của học sinh.
3. Phạm vi, đối tượng nghiên cứu của đề tài:
 - Thường được phân công giảng dạy các lớp 8, 9. Vì thế trong năm học 
2021-2022 khi được phân công giảng dạy môn toán lớp 8 tôi đã giành thời gian 
nghiên cứu và thực hiện đề tài vào một số tiết học buổi chiều.
 - Đề tài được áp dụng cho đối tượng học sinh lớp 8 ở trường THCS Lương 
Thế Vinh. Đây là lứa tuổi thay đổi nhiều về tâm sinh lý. Do đó trong quá trình 
giảng dạy tôi luôn cố gắng rút kinh nghiệm, điều chỉnh phương pháp dạy cho phù 
hợp với đối tượng học sinh. Vì “Nhà giáo không phải là người nhồi nhét kiến thức 
mà đó là công việc của người khơi dậy ngọn lửa cho tâm hồn”.
 II. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU:
1. Vai trò của tính chất đường phân giác trong tam giác trong việc giải toán.
 Tính chất đường phân giác trong tam giác ở chương trình toán 8 chỉ gồm 2 
tiết (1 tiết lý thuyết và 1 tiết luyện tập) nhưng nó lại có tầm ảnh hưởng lớn, có thể 
vận dụng vào làm rất nhiều bài toán hay, là sự kết hợp nhuần nhuyễn để có nhiều 
lời giải hay, độc đáo.
 Học sinh có thể vận dụng tính chất đường phân giác trong tam giác vào việc 
giải các bài toán khác có liên quan, qua đó phát triển kĩ năng trong chứng minh 
hình học.
2. Nghiên cứu tài liệu:
 Trước hết phải nghiên cứu phần lý thuyết mà học sinh đã được học trong các 
nội dung lý thuyết, phải xác định rõ ràng các kiến thức cơ bản và trọng tâm, kiến 
thức nâng cao và mở rộng cho phép bước tiếp theo là nghiên cứu các bài tập trong 
SGK, sách bài tập Toán, sách nâng cao theo yêu cầu và tự mình phải giải đáp 
những yêu cầu này.
 3 cung cấp một số nội dung phát triển, nâng cao, áp dụng thực tiễn theo nhu cầu của 
học sinh. 
 Khai thác sâu tính chất đường phân giác trong tam giác, phát triển các bài 
toán có liên quan.
 Đáp ứng nhu cầu học tập của các đối tượng học sinh khác nhau. 
 Tạo điều kiện cho học sinh trong học tập, nắm bắt được các kiến thức cơ bản 
và phát triển nâng cao của chương trình.
2. Cấu trúc
 Với mục tiêu củng cố, nâng cao mức độ phổ thông cho phép đối với phần lí 
thuyết thông qua hệ thống một số bài tập, gồm các bài tập trong sách giáo khoa, 
sách bài tập, hoặc các bài tập tự chọn, tự sáng tạo của giáo viên. Đề tài phải có một 
cấu trúc hợp lí, chặt chẽ và gắn kết lôgíc với nhau, qua đó tạo ra cho người dạy, 
người học nguồn cảm hứng, độ mở nhất định. Với đề tài: "Giải toán nhờ sử dụng 
tính chất đường phân giác" có thể cấu trúc theo nhiều cách khác nhau tuỳ theo chủ 
định của người dạy, ở đây tôi xin đưa ra cấu trúc như sau để các đồng chí tham 
khảo và góp ý.
 Bước 1: Khơi nguồn kiến thức về lí thuyết: Tính chất đường phân giác của 
tam giác thông qua hệ thống câu hỏi và bài tập dạng đơn giản tự luận và trắc 
nghiệm.
 Bước 2: Học sinh áp dụng tính chất đường phân giác của tam giác, sử dụng 
tính chất đó một cách linh hoạt, sáng tạo, qua đó giáo viên kiểm tra, rèn luyện kĩ 
năng vận dụng chứng minh, các thao tác trong bài làm của học sinh.
 Nhận xét sau mỗi bài toán, qua đó xâu chuỗi để có thể phát hiện ra bài toán 
mới. 
 Bước 3: Vận dụng tính chất, kết quả đó để giải các bài toán như tính độ dài 
đoạn thẳng, so sánh hai đoạn thẳng, chứng minh hai đường thẳng song song, chứng 
minh tam giác vuông, các bài toán mở rộng khác.
 II. THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ:
 5 Lời giải:
a, Vì AD là phân giác góc BAC nên ta có:
 AB DB 4,5 3,5 3,5.7,2
 hay x 5,6
 AC DC 7,2 x 4,5
b, Vì PQ là đường phân giác góc MPN nên ta có:
 PM QM 6,2 QM 6,2 QM QM QM
 hay 
 PN QN 8,7 QN 8,7 6,2 QN QM MN 12,5
 12,5.6,2
 QM QM 5,2
 14,9
 Vậy y 5,2
 Nhận xét 1: Đây là một bài toán cơ bản, áp dụng trực tiếp ngay tính chất 
đường phân giác trong tam giác. Ta xét tiếp bài toán cơ bản sau:
 Bài toán 2: Bài tập 18 trang 69 SBT T8.
 Tam giác ABC có các đường phân giác AD, BE và CF (hình vẽ). A
 DB EC FA
CMR: . . 1 F
 DC EA FB E
 Lời giải:
 B
Áp dụng tính chất đường phân giác, ta có:
 D
 C
 DB AB
 (1)
 DC AC
 EC BC
 ( 2 ) 
 EA BA
 FA CA
 (3 )
 FB CB
Nhân các vế tương ứng của các đẳng thức (1),(2),(3) ta được:
 D B E C F A
 . . 1
 D C E A F B
Lại được tính chất mới có thể vận dụng được để giải toán sau này.
 Bài toán 3: 
 7 a) Theo tính chất đường phân giác của tam giác, ta có: A
 DA MA EA MA
 và 
 DB MB EC MC
Mà MB = MC (gt) 
 D I
 DA EA
Do đó: E
 DB EC B
Suy ra: DE// BC.
 M C
b) DE//BC (theo câu a). áp dụng định lí Talet, ta có:
 ID AI IE AI
 và 
 MB AM MC AM
 ID IE
Suy ra , mà MB = MC, do đó ID = IE.
 MB MC
 * Chúng ta đã sử dụng tính chất đường phân giác trong tam giác để chứng minh 
hai đường thẳng song song, hai đoạn thẳng bằng nhau.
 Bài toán 5. 
Cho tam giác ABC có BC = a, AC = b, AB = c, đường phân giác AD.
a) Tính các độ dài các đoạn thẳng BD, DC theo a, b, c.
b) Tia phân giác góc B cắt AD ở I. Tính tỉ số AI : ID.
c) Cho BC bằng trung bình cộng của AB và AC, gọi G là trọng tâm của tam giác 
ABC. Chứng minh rằng IG // BC
Lời giải
a) AD là đường phân giác của ABC nên: A
 BD AB c
 DC AC b I G
Suy ra: 
 BD c BD c ac B D M C
 BD 
 BD DC c b a c b c b
 ac ab
Do đó DC = a - .
 c b c b
b) BI là đường phân giác của ABD nên:
 9 Mặt khác từ IG// MN ta có: 
 AI AG
 2 AI 2IN > 2ID .
 IN GM
 Áp dụng tính chất đường phân giác trong một tam giác, ta được:
 AB AC AI
 2
 BD DC ID
 AB + AC > 2( BD + DC ) = 2 BC (đpcm).
 Ta thấy điều kiện IG vuông góc với AI trong giả thiết là để cho AI > 2.DI và tam 
giác ABC không cân tại A. Nếu tam giác ABC có thêm điều kiện AB < AC thì 
muốn có AI > 2.DI ta chỉ cần cho ràng buộc: IG cắt tia MB là đủ. Trước hết có 
nhận xét sau: 
 Nhận xét 3: Cho tam giác ABC với AB < AC. Gọi AD là đường phân giác 
trong, AM là đường trung tuyến của tam giác đó thì M nằm giữa C và D 
 BM AB BD BC BC
 Thật vậy ta có: 1 CD CM
 CM AC CD CM CD
 Suy ra M nằm giữa C và D.
 Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC thì: 
 AI AB AC AB AC AB AC
 (1)
 ID BD CD BD CD BC
 Bài toán 7: 
Cho tam giác ABC ( AB < AC). Gọi G, I lần lượt là trọng tâm, tâm đường tròn nội 
tiếp tam giác và GI cắt tia MB tại K. Chứng minh rằng: AB + AC > 2.BC.
 Lời giải: 
Gọi D,M là các giao điểm tương ứng của AI và AG với BC. Từ I kẻ đường thẳng 
song song với BC, cắt GM tại J, khi đó theo nhận xét 2, J nằm giữa G và M nên 
 AI AJ AG
 2 (2).
 ID JM GM
Từ (1) và (2) suy ra: AB + AC > 2 BC.
Từ kết quả bài toán 6, đặt ra cho chúng ta câu hỏi:
 11 Ta lại có một bài toán mới. Hoặc lấy a = 6, b = 7, c = 5 thì IG = 1 lại cũng được 
 3
một bài toán mới.
 Bây giờ gọi N là trung điểm của AC, P là trung điểm của AB. Khi đó tam giác 
IDC bằng tam giác INC (IC chung, góc NCI = góc DCI và DC= b = NC).
 2
 Do đó: N1 D1 N 2 D2 AIN ABC (do AI là phân giác của góc 
BAC ).
 Tương tự: AIP ACB ( 4 ).
Giả sử K là giao điểm của CI và AB thì K nằm giữa B và P (vì theo nhận xét 2 và
 b c b b
 a = b ).
 2 2
 Vậy:  AIP <  CID  ACB <  CID ( theo (4)), 
 Suy ra:  ACB <  CIN (  CIN =  CID ).
 Từ đó:  GIC <  GIN ( IG // BC ) và chúng ta có kết quả:
 Bài toán 10: Cho ABC (AB < AC). Gọi G, I lần lượt là trọng tâm, tâm đường 
tròn nội tiếp tam giác đó, N là trung điểm của AC. Chứng minh rằng: 
 Nếu AB + AC = 2 BC thì :  GIC <  GIN.
 Nhận xét 5: Nếu ABC có  B = 900, AB = 6 và BC = 8 thì lúc đó AC = 10.
 Tam giác này thỏa mãn điều kiện b + c = 2a. Trở lại phần phân tích để dẫn đến 
bài toán 10, ta có:  AIN =  ABC = 900 . 
 IV. KẾT QUẢ THỰC HIỆN.
 Với dạng hệ thống như thế này tôi thấy học sinh dễ hiểu và nhớ lâu hơn, 
không mất nhiều thời gian. 
 Với cách làm trên đây chúng ta cần phải tạo ra tình huống (chuẩn bị các tình 
huống) dẫn dắt học sinh học tập bằng cách tự học là chính. Tuy nhiên để học sinh 
làm được điều đó giáo viên phải tốn không ít thời gian chuẩn bị nội dung và 
phương pháp giảng dạy của mình. Muốn cho chất lượng học tập của học sinh ngày 
một nâng cao trong những biện pháp tốt nhất giáo viên phải đầu tư suy nghĩ thật 
 13 - Trong các phương pháp, các dạng bài tập phải rèn luyện cho học sinh tính 
cẩn thận, tư duy sáng tạo, kỹ năng phân tích và áp dụng. Yêu thương tôn trọng học 
sinh.
 - Thường xuyên dự giờ đồng nghiệp để rút kinh nghiệm cho mình.
II. CÁC ĐỀ XUẤT VÀ KHUYẾN NGHỊ:
1. Đề xuất:
 - Nhà trường mua thêm các tài liệu tham khảo phục vụ bồi dưỡng học sinh.
2. Khuyến nghị :
 - Giải pháp về cách hướng dẫn học sinh giải toán nhờ sử dụng tính chất 
đường phân giác đã được trình bày như trên và đã được tôi thực hiện trong năm học 
2021 – 2022. Nhưng mỗi bài toán lại đòi hỏi sự sáng tạo của người giáo viên. Do 
đó trước mỗi tiết dạy giáo viên cần:
 a. Xác định rõ mục tiêu để phân chia thời gian hợp lý.
 b. Chuẩn bị chu đáo cho mỗi tiết dạy, hệ thống câu hỏi lựa chọn bài tập và 
đặc biệt là các phương tiện hỗ trợ như máy vi tính, máy chiếu, ti vi. Tránh mất thời 
gian kẻ vẽ trên lớp.
 c. Tổ chức các hoạt động phù hợp sinh hoạt cho mọi nhóm đối tượng học 
sinh tham gia.
 d. Lưu ý hoạt động hướng dẫn, bổ sung kiến thức cho học sinh.
 Trên đây là những kinh nghiệm mà tôi rút ra trong quá trình giảng dạy Toán 
8. Mong muốn sẽ đóng góp để giúp bạn đọc tham khảo thêm khi giảng dạy học 
sinh “Sử dụng hiệu quả tính chất đường phân giác trong bài toán hình học”. Cuối 
cùng tôi xin trân thành cảm ơn và ghi nhận những ý kiến đóng góp, bổ xung của 
bạn bè đồng nghiệp, của hội đồng khoa học các cấp./.
 Ngày 20 tháng 2 năm 2023
 Người viết
 Nguyễn Thị Thu Loan
 15