Sáng kiến kinh nghiệm Phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử trong giải toán ở trường THCS

 Phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử trong giải toán ở trường THCS
 1. MỞ ĐẦU
1.1. Lý do chọn đề tài
 Phân tích đa thức thành nhân tử là một trong những nội dung kiến thức quan 
trọng trong chương trình Đại số ở THCS. Việc phân tích đa thức thành nhân tử là việc 
rất có ích trong học toán và giải toán, nó giúp người học rèn luyện kĩ năng biến đổi các 
biểu thức toán học và còn là phương pháp giải cho nhiều dạng toán ở trường phổ thông 
như: Quy đồng mẫu thức, chứng minh đẳng thức và bất đẳng thức, rút gọn biểu thức, 
chia hết, giải phương trình và bất phương trình, tìm nghiệm nguyên, tìm cực trị, 
 Qua thực tế giảng dạy, tôi thấy sách giáo khoa toán 8 mới chỉ trình bày một số 
phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử cơ bản. Điều này chưa đủ để giúp học sinh 
khá, giỏi và giáo viên bồi dưỡng học sinh giỏi môn toán giải các dạng bài tập nâng cao. 
Do vậy với kinh nghiệm giảng dạy, bồi dưỡng học sinh giỏi nhiều năm, tôi đã tiến hành 
nghiên cứu và thể nghiệm đề tài "Phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử trong 
giải toán ở trường THCS". Với mong muốn, qua đề tài này giúp cho các đồng chí giáo 
viên và các em học sinh yêu thích môn toán mở rộng thêm vốn kiến thức của mình, tìm 
được cách giải dạng bài tập phân tích đa thức thành nhân tử một cách hợp lí và sáng tạo 
nhất, qua đó vận dụng để giải các dạng toán khác.
1.2. Mục đích nghiên cứu
 Trong chương trình Toán THCS, phân tích đa thức thành nhân tử là một nội dung 
kiến thức cơ bản quan trọng, nó là cơ sở để xây dựng nhiều nội dung kiến thức và 
phương pháp giải nhiều dạng toán trong chương trình môn Toán THCS và THPT như: 
Quy đồng mẫu thức, chứng minh đẳng thức và bất đẳng thức, rút gọn biểu thức, chia hết, 
giải phương trình và bất phương trình, tìm nghiệm nguyên, tìm cực trị, Do vậy kĩ 
năng phân tích đa thức thành nhân tử là một vấn đề quan trọng, nếu nắm vững và thành 
thạo kĩ năng này thì học sinh mới có khả năng giải quyết được những dạng toán khác 
trong chương trình Đại số THCS và ở lớp trên, đặc biệt là đối tượng học sinh khá, giỏi. 
Qua đó các em có thể tìm được nhiều lời giải khác nhau và lời giải hay cho một bài toán. 
 Lương Quốc Phương – Trường THCS Phạm Hồng Thái 1 Phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử trong giải toán ở trường THCS
Tôi thấy học sinh chủ động tích cực, linh hoạt hơn trong quá trình giải toán sau khi được 
tìm hiểu kỹ các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử.
 + Phương pháp điều tra thực tiễn: Thông qua kiểm tra đánh giá kết quả học tập 
của học sinh, qua trao đổi trực tiếp với học sinh sau giờ học có nội dung về phân tích đa 
thức thành nhân tử.
1.5. Giới hạn phạm vi nghiên cứu.
 - Đề tài áp dụng đối với học sinh THCS chủ yếu là học sinh khối 8 và khối 9 trong 
các giờ luyện tập, ôn tập cuối kì, cuối năm, các kì thi và thi vào THPT. 
 - Đề tài góp phần phát triển năng lực, tư duy của học sinh thông qua các bài toán về 
phân tích đa thức thành nhân tử đối với học sinh THCS 
 2. NỘI DUNG
2.1. Cơ sở lí luận của vấn đề
 Trong đề tài được đưa ra một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử cơ 
bản phù hợp với trình độ của học sinh THCS.
 Trang bị cho học sinh một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử cơ bản 
áp dụng để làm bài tập .
 Rút ra một số chú ý khi làm từng phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử.
 Vận dụng giải các bài toán có liên quan đến phương pháp phân tích đa thức thành 
nhân tử.
 Tôi hi vọng đề tài này sẽ giúp ích cho học sinh ở trường THCS trong việc học và 
giải các dạng toán về phân tích đa thức thành nhân tử. Qua đó các em có phương pháp 
giải đúng, tránh được tình trạng định hướng giải bài toán sai hoặc còn lúng túng trong 
việc trình bày lời giải, giúp học sinh làm việc tích cực hơn đạt kết quả cao trong kiểm 
tra. 
 Lương Quốc Phương – Trường THCS Phạm Hồng Thái 3 Phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử trong giải toán ở trường THCS
 Đa thức A(x) gọi là chia hết cho đa thức B(x) khác 0 nếu tồn tại đa thức Q(x) sao cho 
A(x) = B(x). Q(x) 
- Nếu đa thức A(x;y) nhận giá trị bằng 0 khi x = y thì đa thức A(x;y) chia hết cho nhị 
thức x – y.
d. Định lí Bê zout về phép chia đa thức:
 Khi chia đa thức A(x) cho nhị thức x – a thì dư trong phép chia này là A(a). (Tức là 
bằng giá trị của đa thức tại x = a).
- Hệ quả: A(x)  x – a A(a) = 0 ( A(x) chia hết cho x – a khi và chỉ khi x = a là 
nghiệm của A(x) ).
e. Định lí về nghiệm nguyên của đa thức:
 n n-1
 Cho đa thức A(x) = anx + an-1x + ... + a1x+ a0
Nếu f(x) có nghiệm nguyên thì nghiệm đó phải là ước của hạng tử tự do 0a 
 Đặc biệt:
- Nếu tổng các hệ số bằng 0 thì ta nói đa thức đó có một nghiệm là x = 1
 an+ an-1+ ... + a1+ a0 = 0 A(1) = 0
- Nếu hiệu của tổng các hệ số của các hạng tử bậc chẵn với tổng các hệ số của các hạng 
tử bậc lẻ bằng 0 thì đa thức đó có một nghiệm là x =-1
(a2n+ a2n-2+ ... + a2+ a0 ) – (a2n-1+ a2n-3+ ... a3+ a1 ) = 0 A(-1) = 0
g. Phân tích đa thức thành nhân tử:
 Định nghĩa: Phân tích đa thức thành nhân tử là biến đổi đa thức đó thành một tích của 
những đa thức khác.
 Với mọi đa thức bậc n (hệ số thực) luôn luôn phân tích được thành một tích của:
+ Luỹ thừa của nhị thức dạng ( x- a)k; k N
+ Luỹ thừa của tam thức bậc 2 không có nghiệm thực: x2 + bx + c khi b2 - 4c < 0
 Lương Quốc Phương – Trường THCS Phạm Hồng Thái 5 Phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử trong giải toán ở trường THCS
 Yêu cầu: 
 - Học sinh nắm vững tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng.
 - Học sinh nắm vững quy tắc dấu ngoặc, quy tắc nhân, chia lũy thừa cùng cơ số.
 Phương pháp: - Bước 1: Tìm nhân tử chung (Viết mỗi hạng tử của đa thức thành 
tích các nhân tử để làm xuất hiện nhân tử chung).
 - Bước 2: Đặt nhân tử chung ra ngoài dấu ngoặc theo công thức
A. B + A. C = A.(B + C)
 Ví dụ: phân tích các đa thức sau thành nhân tử
Ví dụ 1: 5x2y2 + 20x2y – 35xy2
 = 5xy. xy +5xy. 4x – 5xy. 7y
 = 5xy (xy + 4x – 7y)
Ví dụ 2: 3x (x –1) + 7x2(x –1)
 = x(x –1)3 + x(x –1)7x
 = x(x –1) (3 + 7x)
 * Chú ý: Nhiều khi để làm xuất hiện nhân tử chung ta cần phải đổi dấu các hạng 
tử theo quy tắc: - (-A) = A
 (y –x) = - (x –y)
Ví dụ 3: 3x(x –2y) + 6y(2y –x)
 = 3(x -2y).x –3(x –2y).2y
 = 3(x –2y) (x –2y) = 3(x –2y)2
b. Phương pháp dùng hằng đẳng thức:
 Đặc điểm: Được áp dụng trong trường hợp đa thức có chứa 1 trong các vế của 7 
hằng đẳng thức.
 Lương Quốc Phương – Trường THCS Phạm Hồng Thái 7 Phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử trong giải toán ở trường THCS
 = -( x4y2+ 8x2y +16)
 = -[(x2y)2+ 2.x2y.4 + 42]
 = -(x2y + 4)2
c. Phương pháp nhóm nhiều hạng tử:
 Đặc điểm: Được áp dụng trong trường hợp các hạng tử của đa thức chưa có ngay 
nhân tử chung hoặc chưa xuất hiện dạng của hằng đẳng thức nào đã học.
 Yêu cầu: 
 - Học sinh nắm vững các hằng đẳng thức đáng nhớ
 - Học sinh nắm vững quy tắc dấu ngoặc
 - Học sinh nắm vững tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng.
 - Học sinh có khả năng quan sát, phân tích, phán đoán linh hoạt để nhóm các hạng 
tử một cách thích hợp.
 Phương pháp: Nhóm các hạng tử của đa thức một cách thích hợp để có thể phân 
tích các nhóm hạng tử đó thành nhân tử bằng phương pháp dùng hằng đẳng thức hoặc 
đặt nhân tử chung sao cho các nhóm xuất hiện nhân tử chung.
 Ví dụ: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
 Ví dụ 1: Nhóm hạng tử thứ nhất và thứ ba thành một nhóm
 x2 - 3x + xy - 3y 
 = (x2+xy) – (3x+3y) 
 = x(x+y) – 3(x+y)
 = (x+y)(x-3)
 Ví dụ 2: Nhóm hai hạng tử đầu và hai hạng tử cuối thành hai nhóm
 x3+4x2-9x-36
 Lương Quốc Phương – Trường THCS Phạm Hồng Thái 9 Phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử trong giải toán ở trường THCS
 = 3xy( x2- 2x- y2- 2yz- z2+ 1)
 = 3xy[(x2- 2x+ 1) – (y2- 2yz+ z2)]
 = 3xy[(x- 1)2- (y- z)2]
 = 3xy[(x-1)- (y-z)][(x-1)+(y-z)]
 =3xy( x-1- y+ z)(x- 1+ y- z)
 = 3xy(x- y+z- 1)(x+ y- z- 1)
 2. Muốn phân tích một đa thức thành nhân tử trước tiên ta cần thực hiện theo các 
trình tự sau:
 - Xét xem các hạng tử của đa thức có chứa nhân tử chung không. Nếu có hãy 
dùng phương pháp đặt nhân tử chung để phân tích.
 - Xét xem các hạng tử của đa thức có ở dạng một vế nào đó của một trong các 
hằng đẳng thức đã học hay không. Nếu có hãy sử dụng hằng đẳng thức đó để phân tích.
 - Nếu không sử dụng được hai phương pháp trên ta thử nhóm các hạng tử một 
cách thích hợp để làm xuất hiện hằng đẳng thức hoặc nhân tử chung của các nhóm.
 - Nếu một trong các cách trên không giúp ta phân tích được đa thức thành nhân tử 
ta hãy xét đến một trong các phương pháp phân tích sau đây. 
2.3.4. Phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử đặc biệt khác
a. Phương pháp tách một hạng tử thành nhiều hạng tử khác 
 Đặc điểm: Thường được áp dụng đối với các đa thức mà không vận dụng ngay được 
ba phương pháp đã nêu ở trên để phân tích thành nhân tử và thường có bậc hai trở lên.
 Yêu cầu: 
 - Học sinh nắm vững ba phương pháp cơ bản để phân tích đa thức thành nhân tử 
và vận dụng thành thạo để làm bài tập.
 Lương Quốc Phương – Trường THCS Phạm Hồng Thái 11 Phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử trong giải toán ở trường THCS
 = x3+(1+2+3)x2+ (1.2+2.3+1.3)x+ 1.2.3
 = (x+1)(x+2)(x+3)
Hoặc tách x3+ 6x2+11x+ 6
 = x3+ x2+ 5x2+ 5x+ 6x+ 6
 = x2(x+1)+ 5x(x+1)+ 6(x+1)
 = (x+1)(x2+5x+6)
 = (x+1)(x+2)(x+3) (Sử dụng kết quả ví dụ 1)
Ví dụ 3: 3x2- 8x+ 4 (a=3; b=-8; c=4 )
 Ta có a.c = 3.4=12= ( 1)( 12)= ( 2)( 6)= ( 3)( 4)
 Nhận thấy chỉ có (-6)+(-2)= -8 (b1=-6, b2=-2)
Vậy ta có: 3x2- 8x+ 4
 = 3x2- 6x- 2x+ 4
 = 3x(x-2)- 2(x-2) = (x-2)(3x-2)
 * Chú ý: Với các đa thức bậc ba trở lên, để dễ dàng làm xuất hiện các hệ số tỉ lệ, 
người ta thường dùng cách tìm nghiệm của đa thức.
 Số a được gọi là nghiệm của đa thức f(x) nếu f(a)= 0. Vậy nếu đa thức f(x) có 
nghiệm x= a thì dạng phân tích của nó có chứa (x- a).
 Ta còn chứng minh được rằng nghiệm nguyên của đa thức, nếu có phải là ước 
của hệ số tự do.
Ví dụ 4: x3 - x2- 4
Ta có Ư(4) = { 1; 2; 4}
Ta thấy f(2) = 23- 22- 4= 0
Vậy đa thức có nghiệm x = 2 do đó dạng phân tích có chứa (x- 2)
 Lương Quốc Phương – Trường THCS Phạm Hồng Thái 13 Phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử trong giải toán ở trường THCS
 = 3x3- x2- 6x2+ 2x + 15x – 5
 = x2(3x-1) – 2x(3x-1) + 5(3x-1) 
 = (3x-1)(x2-2x+5)
b. Phương pháp thêm bớt cùng một hạng tử:
 Đặc điểm: Thường được áp dụng cho những đa thức bậc cao mà sau khi sắp xếp, 
có khuyết nhiều bậc trung gian và không áp dụng được các phương pháp đã nêu trên.
 Phương pháp: - Thêm và bớt cùng một hạng tử để làm xuất hiện dạng đủ của 
hằng đẳng thức bình phương của một tổng hoặc bình phương của một hiệu và làm xuất 
hiện hiệu hai bình phương.
 - Thêm bớt cùng một hạng tử để làm xuất hiện thừa số chung.
 Ví dụ: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
Ví dụ 1: a4+a2b2+b4
 = a4+2 a2b2+b4- a2b2 (Thêm bớt a2b2)
 = (a2+b2)2- a2b2
 =(a2+b2+ab)(a2+b2-ab)
Ví dụ 2: x5+ x4+1
 = x5+ x4+ x3- x3+1 (Thêm bớt x3)
 = x3(x2+x+1) – (x-1)(x2+x+1)
 = (x2+x+1)(x3-x+1)
Ví dụ 3: 4x4+ 81
 = 4x4+ 36x2+ 81 – 36x2
 = (2x2+ 9)2- (6x)2
 = (2x2+ 9 +6x)(2x2+ 9- 6x)= (2x2+ 6x+ 9)(2x2- 6x+ 9)
 Lương Quốc Phương – Trường THCS Phạm Hồng Thái 15