Sáng kiến kinh nghiệm Phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử

 Cộng hòa xã hội chủ nghĩa việt nam
 Độc lập - Tự do - Hạnh phúc
 đề tài sáng kiến kinh nghiệm
 I-sơ yếu lí lịch
-Họ và tên : hoàng trung dương
-Sinh ngày 19 tháng 10 năm 1981
-Năm vào ngành :2005
-Ngày vào Đảng :
-Chức vụ và đơn vị công tác : Giáo viên - Trường THCS Thái Hòa.
-Trình độ chuyên môn :Cao Đẳng Sư Phạm .
-Hệ đào tạo : Chính quy
-Bộ môn giảng dạy:Toán
-Ngoại ngữ
-Trình độ chính trị 
-Sơ cấp 
-Trung cấp 
-Đại học :Đại Học Quốc Gia Hà Nội -Toán Tin. 
-Sau đại học
-Khen thưởng :Giáo viên giỏi cấp trường
 II-nội dung của đề tài
 ,,
-Tên đề tài : “Phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử .
 -Lý do chọn đề tài :
Trong chương trình toán học phổ thông phân tích đa thức thành nhân tử là một vấn đề 
đặc biệt quan tâm. Vì nó được sử dụng rất nhiều khi giải toán trên các đa thức, rút gọn 
phân thức, quy đồng mẫu thức các phân thức, biến đổi đồng nhất các biểu thức hữu 
tỉ,chứng minh đẳng thức, giải phương trình và xuyên suốt quá trình học tập sau này 
của học sinh.
Đối với trình độ học sinh THCS, việc trang bị kiến thức có đào sâu suy nghĩ, rèn 
luyện năng lực tư duy toán học. Phát huy trí lực học sinh là một điều vô cùng quan 
trọng, nó là cơ sở vững chắc để các em học tập toán học được tốt.
Để phân tích một đa thức thành nhân tử có nhiều phương pháp. Việc tìm ra phương 
pháp thích hợp cho lời giải một bài toán được ngắn gọn, chính xác, khoa học hay tìm 
ra nhiều cách giải khác nhau trong một bài toán ...tất cả đều phụ thuộc vào việc tiếp 
thu và vận dụng kiến thức của học sinh. Khi lựa chọn các phương pháp để phân tích 
giúp cho học sinh phát triển tư duy toán học, óc tìm tòi sáng tạo, kỹ năng vận dụng 
kiến thức đã học khi giải một bài toán cụ thể. Không những thế khi phân tích đa thức 
thành nhân tử học sinh được ôn lại hay sử dụng các kiến thức liên quan như : Hằng 
đẳng thức, kỹ năng thêm bớt tách các hạng tử, tính nhẩm nghiệm của đa thức..Nói 
chung ,các thủ thuật toán học để giải bài toán phân tích đa thức thành nhân tử đòi hỏi 
học sinh phải tư duy nhiều nắm chắc kiến thức và vận dụng linh hoạt , sáng tạo các 
kiến thức đó.
 1 mà cụ thể hướng dẫn học sinh phân tích đa thức này thành nhân tử bằng phương pháp 
phân tích nào hợp lí nhất .
Cũng có những giáo viên chưa chú trọng vào việc hướng dẫn học sinh ứng dụng 
những kiến thức đã học vào giải toán .
Một số học sinh còn lúng túng khi giải các bài tập không biết bài tập này nên áp dụng 
phương pháp phân tích thành nhân tử nào .
Nhiều em hiểu bài toán sau khi giáo viên giảng dạy nhưng khi cho một bài toán tương 
tự thì lại không giải được .Sở dĩ như vậy là do nhiều học sinh chưa nắm vững được các 
phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử.Học trước quyên sau ,học vẹt ,do chưa 
có một phương pháp khoa học .
Một số em do chưa phát huy hết khả năng học tập tư duy ,một số em có những sai sót 
nhưng giáo viên không chú ý phát hiện và sửa chữa kịp thời do đó các em lại mắc phải 
những sai sót đó .
Đôi khi cũng có một số giáo viên chưa hướng dẫn cho học sinh suy nghĩ trước khi giải 
một bài toán nên học sinh thường không đọc kĩ đầu bài mà giải bài luôn do đó thường 
hay lạc đề . 
2-Số liệu điều tra trước khi thực hiện :
 Lớp Số học sinh Biết ứng dụng Chưa biết ứng dụng Ghi chú
 p2PTĐTTNT p2PTĐTTNT
 Tổng số Tỉ lệ Tổng số Tỉ lệ
 8A 38 20 52,6% 18 47,4%
 8B 35 19 54,3% 16 45,7%
3-Những biện pháp thực hiện (nội dung chủ yếu của đề tài )
 Chương I:Các phương pháp cơ bản.
-Phương pháp đặt nhân tử chung .
-Phương pháp dùng hằng đẳng thức .
-Phương pháp nhóm nhiều hạng tử .
-Phương pháp Phối hợp nhiều phương pháp .
 Chương II : Các phương pháp đặc biệt.
-Phương pháp tách một hạng tử thành nhiều hạng tử .
-Phương pháp thêm bớt cùng một hạng tử .
-Phương pháp đổi biến số ( Đặt ẩn phụ).
-Phương pháp tìm nghiệm của đa thức
-Phương pháp hệ số bất định .
-Phương pháp xét giá trị riêng .
 3 Ví dụ 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử : 8x3y6 -1
 Giải :
 8x3y6 - 1 =(2xy2)3 - 13 = ( 2xy2 - 1 ).(4x2y4 + 2xy2 + 1)
 Ví dụ 2: Phân tích đa thức sau thành nhân tử : 25x4 + 10x2y + y2
 Giải :
 25x4 + 10x2y + y2 = (5x2)2 + 2.5x2 .y + y2 = ( 5x2 + y)2
C. phương pháp nhóm nhiều hạng tử .
Khi sử dụng phương pháp này ta cần nhận xét đặc điểm của các hạng tử rồi kết hợp 
các hạng tử thích hợp nhằm làm xuất hiện dạng hằng dẳng thức hoặc xuất hiện nhân 
tử chung của các nhóm rồi dùng các phương phap đã biết để phân tích đa thức thành 
nhân tử.
 Ví dụ 3: Phân tích đa thức sau thành nhân tử : 4x2+8xy - 3x - 6y
 Giải :
 2 2
 4x +8xy - 3x - 6y = (4x + 8xy ) - (3x + 6y)
 = 4x.(x+2y) - 3(x+2y) 
 = (x+2y)(4x-3)
 Ví dụ 4: Phân tích đa thức sau thành nhân tử : x2 - y2+ 2xz + z2
 Giải :
 x2 - y2+ 2xz + z2=( x2 + 2xz + z2) - y2
 =(x+z)2 - y2
 =(x+y+z)(x-y+z)
D. phương pháp Phối hợp nhiều phương pháp .
 Thường được tiến hành theo các trình tự sau :
 + Đặt nhân tử chung (nếu có) để biểu thức còn lại đơn giản hơn dễ nhận xét hơn .
 + Nhóm hạng tử .
 + Dùng hằng đẳng thức .
 5 Hai là : Tách hạng tử không đổi thành hai hạng tử rồi đưa đa thức về dạng hiệu hai 
 bình phương .
 Ví dụ 2: Phân tích đa thức sau thành nhân tử : 9x2+6x-8 
 Giải :
 9x2+6x-8 =9x2-6x+12x-8 
 = 3x(3x -2)+4(3x-2) 
 =(3x -2)(3x+4)
Hoặc : 9x2+6x-8 =9x2+6x+1 – 9 =(3x+1)2-32 =(3x+1-3)(3x+1+3) =(3x -2)(3x+4)
*Chú ý : Khi tách hạng tử bậc nhất thành hai hạng tử ta có thể dựa vào hằng đẳng 
thức đáng nhớ: mpx2 + (mq +np)x +nq = (mx +n)(px +q)
 2
 Như vậy trong tam thức bậc hai :ax +bx+c hệ số b = b1+ b2 sao cho b1. b2 = a.c. 
 Trong thực hành ta làm như sau :
 - Tìm tích a.c
 - Phân tích a.c ra thành tích hai thừa số nguyên bằng mọi cách .
 - Chọn hai thừa số mà tổng bằng b .
 Ví dụ 3: Khi phân tích đa thức 9x2+6x-8 thành nhân tử
 Ta có : a = 9 ; b = 6 ; c = -8
 Tích a.c =9.(-8) =-72
Phân tích -72 thành tích hai thừa số khác dấu sao cho thừa số dương có giá trị tuyệt 
đối lớn hơn (để tổng hai thừa số bằng 6)
-72 =(-1).72 =(-2).36 = (-3).24 = (-4).12 = (-6).12 = (-8).9
Chọn hai thừa số có tổng bằng 6, đó là -6 và 12
 Từ đó ta phân tích
 9x2+6x-8 =9x2-6x+12x-8 = 3x(3x -2)+4(3x+4) =(3x -2)(3x+4)
 Ví dụ 4 : Khi phân tích đa thức x 2 –x -6 thành nhân tử
 Ta có : a = 1 ; b = -1 ; c = -6
 + Tích a.c =1.(-6) = -6
 Phân tích -6 thành tích hai thừa số khác dấu sao cho thừa số âm có giá trị tuyệt 
 đối lớn hơn vì b=-1 < 0 (để tổng hai thừa số bằng -1)
 -6 = 1.(-6) = 2.(-3)
 7 =(x2 + x+6)[x ( x +2)- ( x +2) ]
 =(x2 + x+6)(x+2)(x-1)
*Chú ý : x2 + x+6 không phân tích được nữa trong phạm vi số hữu tỉ (vì tích a.c = 6 
= 1.6 =2.3 không có hai thừa số nào có tổng bằng 1 - cách 1 phần I)
 Ví dụ 8 : Phân tích đa thức (x2+ 3x + 1) (x2+ 3x + 2)- 6 thành nhân tử
 Giải :
 Đặt (x2+ 3x + 1) = y 
 Ta có : (x2+ 3x + 1) (x2+ 3x + 2)- 6 =y(y + 1 ) - 6 
 = y2 + y - 6 
 = y2 + 3y - 2y - 6
 = (y + 3)(y - 2) 
 = (x2+ 3x + 1 +3)( x2+ 3x + 1 -2)
 = (x2+ 3x + 4)( x2+ 3x -1)
 ( phương pháp hạ bậc đa thức )
D . Phương pháp tìm nghiệm của đa thức
Tổng quát : cho đa thức f(x); a là nghiệm của f(x) nếu f(a) = 0 như vậy nếu f(x) chứa 
nhân tử x - a thì a phải là nghiệm của đa thức 
 -Trong đa thức với hệ số nguyên, nghiệm nguyên nếu có phải là ước của hạng tử 
 không đổi .
 -Nếu đa thức có tổng các hệ số bằng 0 thì đa thức chứa nhân tử x-1.
 -Nếu đa thức có tổng các hệ số của hạng tử bậc chẵn bằng tổng các hệ số bậc lẻ 
 thì đa thức chứa nhân tử x + 1.
 Ví dụ 9 : Phân tích đa thức x3 + 3x2 -4 thành nhân tử 
 Giải:
Nếu đa thức có nghiệm là a thì nhân tử còn lại có dạng x2 + bx +c. 
Suy ra: a.c = -4, tức là a phải là ước của -4 ( 1; 2; 4). Kiểm tra thấy 1 là nghiện 
của đa thức. Như vậy đa thức chứa nhân tử x – 1. Do đó ta tách các hạng tử của đa 
thức làm xuất hiện nhân tử chung x-1
 9 2x3-5x2+8x-3 = acx3+(ad+bc)x2+(am+bd)x+bm
 Suy ra : a.c = 2 ; ad+bc =-5 ; am+bd = 8 ; b.m = -3
Có thể giả thiết a>0 (vì nếu a<0 thì ta đổi dấu cả hai nhân tử). Do đó a=2 hoặc a=1
 Xét a=2 thì c=1 suy ra : 2d+b=-5 ; 2m+bd=8 ; bm=-3
 => b có thể là 1 hoặc 3
 Xét b=-1 thì m=3 => d=-2 thoả mãn các điều kiện trên.
 => a=2 ; b=-1 ; c=1 ;d=-2 ; m=3
 Vậy 2x3-5x2+8x-3 = (2x-1)(x2-2x+3).
F . Phương pháp xét giá trị riêng .
Ví dụ 12 : Phân tích đa thức P= ab(a-b) + bc(b-c) + ac(c-a) thành nhân tử 
 Giải :
 Sử dụng phương pháp xét giá trị riêng ta có. Nếu ta thay a bởi b thì P= 0+ bc(b-c) 
 + bc(c-b) =0 ,nên p chia hết cho a-b. vai trò của a,b,c như nhau trong đa thức nên 
 p chia hết cho (a-b)(b-c)(c-a)
 Trong phép chia đó, đa thức bị chia P có bậc 3 đối với tập hợp các biến và đa thức 
 chia (a-b)(b-c)(c-a) cũng có bậc 3 đối với tập hợp các biến số nên thương là hằng 
 số k
 ab(a-b) + bc(b-c) + ac(c-a)=k(a-b)(b-c)(c-a)
Trong đẳng thức trên cho ta các biến nhận giá trị riêng a=2 ; b=1 ; c=0, ta được : 
 2.1.1+0 +0 =k.1.1.(-2)
 2 = -2k => k=-1
 Vậy P = (a-b)(b-c)(c-a)
 Ví dụ 13 : Phân tích đa thức Q = (a+b+c)3-a3-b3-c3 thành nhân tử 
 Giải :
Sử dụng phương pháp xét giá trị riêng ta có. Nếu ta thay a bởi -b thì 
 Q= (0+c)3+b3-b3-c3=0. Vậy Q chia hết cho (a+b). vai trò của a,b,c như nhau trong 
 đa thức nên Q chia hết cho (a+b)(b+c)(c+a)
 Trong phép chia đó, đa thức bị chia Q có bậc 3 đối với tập hợp các biến và đa thức 
 chia (a+b)(b+c)(c+a) cũng có bậc 3 đối với tập hợp các biến số nên thương là 
 hằng số k 
 (a+b+c)3-a3-b3-c3 = k(a+b)(b+c)(c+a)
 Cho biến nhận các giá trị riêng a=0; b=1; c=2 . ta có :
 11 chia là nghiệm của đa thức bị chia. Nhưng cách làm đó dài, hoặc đơn điệu hoặc phức 
tạp hơn so với cách làm trên ( áp dụng phân tích đa thức thành nhân tử ) biến đổi đa 
thức thành tích khi đó biểu thức đã cho chia hết cho nhân tử cho tích đó đã làm cho 
phép giải của bài toán nhanh hơn và lời giải thông minh hơn.
B. Bài toán chứng minh biểu thức luôn dương, luôn âm, 
hoặc không âm.
Bài toán này kích thích tư duy của học sinh phải đi tìm đường lối giải và khi giải phải 
nắm được kiến thức:
 - Biểu thức luôn dương ( lớn hơn 0 ) khi tử thức và mẫu thức cùng dấu .
 - Biểu thức không âm ( lớn hơn 0 ) khi biểu thức cho bằng luỹ thừa bậc chẵn của 
 biểu thức khác.
 - Bên cạnh đó cần chú ý với trường hợp biểu thức nguyên ta xét sự luôn luôn 
 dương hoặc luôn âm của biểu thức dựa vào dấu của các nhân tử kết hợp với qui tắc 
 nhân dấu trong dấu nguyên.
Ví dụ 1 : Cho biểu thức P = 4x 2 - 12x + 9 . Chứng minh rằng P không âm với mọi x
 Giải : Ta có P = 4x 2 -12x + 9 = (2x)2-2.2x.3 +(-3)2 = (2x-3)2 0
 Vậy P 0 với  x . Hay biểu thức P không âm với  x.
 x 4 x 3 x 1
 Ví dụ 2 : Chứng minh rằng biểu thức M = không âm với mọi x
 x 4 x 3 3x 2 2x 2
 x 4 x 3 x 1
 Giải : Ta có : M = 
 x 4 x 3 3x 2 2x 2
 x 3 (x 1) (x 1)
 = 
 x 4 x 3 3x 2 2x 2
 (x 1)(x 3 1)
 = 
 x 4 x 3 3x 2 2x 2
 (x 1) 2 (x 2 x 1) (x 1) 2
 = = 
 (x 2 2)(x 2 x 1) (x 2 2)
 1 3 1 3
 Vì x2 +x +1 = x2 +x + + =(x+ )2 + >0  x
 4 4 2 4
 Mặt khác (x-1)2  x và x2 +2 > 0  x
 Vậy M 0  x . Hay M không âm  x.
 Với những bài toán này các em phải phân tích đa thức thành nhân tử hoặc rút gọn 
 biểu thức. Qua đó kỹ năng phân tích của các em được rèn luyện và phát triển cùng 
 với những kỹ năng giải toán khác .
 13