Sáng kiến kinh nghiệm Phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên

 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘI
 -----------o0o-----------
 Mã SKKN
 .
 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
MÔN TOÁN : PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH
 NGHIỆM NGUYÊN
 CẤP HỌC: TRUNG HỌC CƠ SỞ
 NĂM HỌC 2016-2017
 1 - Học sinh có hứng thú học tập hơn, khi gặp dạng toán phương trình 
nghiệm nguyên các em đã được trang bị đầy đủ kiến thức nên các em không còn 
cảm giác sợ và bỏ mà tìm mọi cách để giải quyết thật tốt bài toán với phương án 
tối ưu nhất.
 - Rất nhiều học sinh đạt được điểm cao, tối đa trong các kỳ thi học sinh 
giỏi cũng như thi vào các trường THPT trong và ngoài tỉnh. Qua đó có nhà 
trường có nền tảng vững chắc trong công tác tuyển sinh các thế hệ học sinh tốt.
 II. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU
 Mục đích nghiên cứu là tạo ra được sự hứng thú say mê trong quá trình 
giảng dạy của thầy và học tập của trò. Kích thích , phát triển năng lực tư duy 
sáng tạo chủ động của học sinh qua quá trình học tập.Nhằm nâng cao chất lượng 
môn Toán, đặc biệt là chất lượng bồi dưỡng học sinh giỏi
 III.ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU 
 Đối tượng nghiên cứu là các dạng phương trình nghiệm nguyên ở THCS
 IV.ĐỐI TƯỢNG KHẢO SÁT, THỰC NGHIỆM
 Đối tượng khảo sát,thực nghiệm là học sinh lớp 8 và nhóm học sinh giỏi 
toán 9 .
 V.PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
 Sử dụng các phương pháp nghiên cứu bao gồm:
 -Phương pháp quan sát
 -Phương pháp đàmthoại
 -Phương pháp phân tích
 -Phương pháp tổng hợp
 -Phương pháp khái quát hóa
 -Phương pháp khảo sát thực nghiệm
 VI.PHẠM VI VÀ KẾ HOẠCH NGHIÊN CỨU CỦA ĐỀ TÀI
 1.Phạm vi nghiên cứu của đề tài: Chương trình sách giáo khoa và một số 
tài liệu khác
 2.Thời gian thực hiện: Thực hiện trong năm học 2015-2016 và 2016-2017
 3 đến khó tạo điều kiện cho các em dễ dàng trong việc tiếp cận. Sau mỗi dạng bài 
của phương trình nghiệm nguyên đều có bài kiểm tra đánh giá năng lực của học 
sinh, trong đó tôi chú trọng đến đánh giá kỹ năng thực hiện của học sinh. 
 - Tôi thiết kế sáng kiến chủ đề ‘‘Giải phương trình nghiệm nguyên ’’ dưới 
dạng các tiết học theo cấu trúc của một bài học mới:
 Hoạt động 1: Hoạt động trải nghiệm
 Hoạt động 2: Hoạt động hình thành kiến thức, phương pháp
 Hoạt động 3: Hoạt động thực hành
 Hoạt động 4: Hoạt động bổ sung.
2. Thực trạng của vấn đề
 Để đánh giá được khả năng của các em đối với dạng toán trên và có phương 
án tối ưu truyền đạt tới học sinh, tôi đã ra một đề toán cho 20 em học sinh khá 
giỏi lớp 9 năm học 2015- 2016 đến nay.
 Bài 1: ( 6 điểm ) Tìm x, y ¢ biết
 a) x + 2xy + y = 3, với x > y
 b) 3(x2 xy y2 ) x 8y
 Bài 2: (4 điểm) Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình: x2 – 5y2 = 0
 Kết quả thu được như sau: 
 Dưới điểm 5 Điểm 5 – 8 Điểm 8 – 10
 SL % SL % SL %
 15 75 5 25 0 0
 + Qua việc kiểm tra đánh giá khi học sinh chưa được áp dụng sáng kiến vào 
quá trình giảng dạy tôi thấy học sinh không có phương pháp giải phương trình 
nghiệm nguyên đạt hiệu quả. Lời giải thường dài dòng, không chính xác, hiểu 
sai vấn đề đôi khi còn ngộ nhận. Cũng với những bài toán trên, nếu học sinh 
được áp dụng sáng kiến vào quá trình giảng dạy đã trang bị kỹ phần lý thuyết và 
các phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên thì chắc chắn bài làm của 
các em sẽ có hiệu quả cao hơn rất nhiều.
 + Về phía giáo viên một số người cho rằng chỉ cần dạy cho học sinh thi vào 
THPT đạt được điểm 8 là hoàn thành nhiệm vụ, chính vì suy nghĩ đó nên một số 
giáo viên chưa chịu tìm tòi, suy nghĩ đào sâu kiến thức để trang bị cho các em 
một mảng kiến thức của phần chuyên đề trong đó phải kể đến phương trình 
nghiệm nguyên để các em đạt được kết quả cao hơn trong các kỳ thi học sinh 
giỏi, chuyên, THPT từ đó mở ra cho các em nhiều cơ hội hơn trong quá trình 
học tập; cũng như lòng say mê nghiên cứu khoa học muốn được tìm tòi, sáng tạo 
góp phần xây dựng đất nước ngày một phồn vinh và phát triển.
 5 a a a .... a n
11. Bất đẳng thức Cô - si: 1 2 3 n a a a ....a 
 n 1 2 3 n
Với ai 0 i 1,2,...,n
 Đẳng thức xảy ra a1 = a2 = a3 =......=an
3.2. Khai thác các phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên 
 Có rất nhiều dạng phương trình nghiệm nguyên để giải được phương trình 
nghiệm nguyên đòi hỏi người học phải khai thác tốt kiến thức áp dụng vào việc 
giải từng dạng của phương trình nghiệm nguyên bằng phương án tối ưu nhất thể 
hiện thật tốt tư duy sáng tạo của các em.
3.2.1- Biến đổi phương trình đưa được về dạng ax + b = 0 (a, b Z)
Phương pháp giải:
 + Giải phương trình
 + Tìm nghiệm nguyên (x Z).
Ví dụ 1 : Tìm tất cả các cặp số nguyên (x, y) thỏa mãn đẳng thức:
 y(x – 1) = x2 + 2 (1)
 (Đề thi tuyển sinh vào 10 trường Đại học Quốc gia 2000-2001)
* Phương pháp giải:
 + Trường hợp 1: Nếu x 1 thì phương trình (1) trở thành:
 0y = 3 (vô nghiệm)
 + Trường hợp 2: Nếu x 1 thì phương trình (1) trở thành:
 x2 2 3
 y y x 1 
 x 1 x 1
 3
 Với x Z , để phương trình (1) có nghiệm nguyên (x, y) thì Z
 x 1
 Hay x – 1 là ước của 3, ta có:
 x - 1 - 3 - 1 1 3
 x - 2 0 2 4
 y - 2 - 2 6 6
* Nhận xét: Coi (1) là phương trình ẩn y (x tham số) thì phương trình (1) đưa 
được về dạng: ax = - b. Để giải phương trình (1), ta lưu ý trường hợp 2 phương 
 x 1
trình (1) chỉ có nghiệm nguyên 
 3(x 1)
Việc giải phương trình tìm x, y không còn là vấn đề khó khăn đối với học sinh 
khá, giỏi nữa.
 Khai thác bài toán trong ví dụ 1 nếu phương trình nhận được là phương 
trình bậc hai khuyết bậc 1 (chứa tham số) để các em khai thác sâu kiến thức hơn 
nữa:
 7 3.2.2 Ứng dụng của phương trình bậc hai trong tìm nghiệm nguyên: 
* Phương pháp giải: Tương tự phương pháp 4.2.1
*Ví dụ 1: Tìm m N để phương trình:
 mx2 3m 2 x 6 có 2 nghiệm nguyên.
* Phương pháp giải: 
 Xét phương trình: mx2 3m 2 x 6 (1)
 + Với m = 0 phương trình (1) không có 2 nghiệm nguyên
 + Với m 0 phương trình (1), có:
 (3m 2)2 24m
 (3m 2)2
 Vì m N nên (3m - 2)2 là số chính phương nên phương (1) có hai nghiệm 
 x 3
phân biệt 2
 x 
 m
 2
 Z
 m
 2
 - Để phương trình có 2 nghiệm nguyên thì 3 (*)
 m
 m 0
Vì m N m = 1 hoặc m = 2 thỏa mãn điều kiện (*).
* Nhận xét: - Khi đưa ra ví dụ 1 hầu hết các em biến đổi phương trình (1) về 
dạng bậc một với m là ẩn (x là tham số) mx(x + 3) = - 2(x + 3) và giải rất tốt. 
- Còn khi khai thác bằng phương pháp 4.2.2 một ứng dụng của phương trình 
bậc hai ẩn x (m tham số) các em thấy được việc định hướng tư duy cần được 
đào sâu suy nghĩ giúp các em có sự tìm tòi, khai thác sâu kiến thức. 
 Biết cách phân tích đề bài sẽ giúp các em tiếp cận bài toán theo đúng 
hướng và có nhiều sáng tạo trong giải toán cụ thể như qua ví dụ sau:
*Ví dụ 2: Tìm a N để phương trình x2 (4a 1)x 4a2 2a 0 có hai nghiệm 
nguyên không lớn hơn 8
* Phương pháp giải: 
 Xét phương trình: x2 - (4a + 1)x + 4a2 + 2a = 0 (1)
 Có (4a 1)2 4(4a2 2a) 1 ( > 0)
 x 2a
 Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt: 
 x 2a 1
 Ta có: 2a + 1 > 2a với a
 Để phương trình có 2 nghiệm nguyên không lớn hơn 8 thì:
 2a + 1 < 8 a 4
Vậy a N nên a {0; 1; 2; 3} thì phương trình có hai nghiệm nguyên không 
lớn hơn 8.
* Nhận xét: Đây là phương trình bậc hai ẩn x (a tham số). Tính giá trị của 
 1 để kiểm tra ngay được số nghiệm của phương trình (1), sử dụng công thức 
 9 Khai thác tốt ứng dụng của phương trình bậc hai là chìa khóa vàng trong việc 
tìm lời giải cho phương trình nghiệm nguyên.
Ví dụ 5: Tìm m nguyên để phương trình sau có ít nhất một nghiệm nguyên: 
 4x2 4mx 2m2 5m 6 0 (4) 
 (Đề thi chuyên toán Nguyễn Trãi 2009-2010)
* Phương pháp giải:
 Xét phương trình: 4x2 4mx 2m2 5m 6 0 (4)
 Điều kiện để phương trình có nghiệm: x ' 0
 2 2 2 2 2
 x ' (2m) 4(2m 5m 6) 4m 8m 20m 24 4(m 5m 6)
 
 x ' 0 m 5m 6 0 (m 2)(m 3) 0. Vì (m - 2) > (m - 3) nên: 
 m 2 0 và m 3 0 2 m 3 và m Z
 m = 2 hoặc m = 3.
 + Trường hợp 1: Khi m = 2 x ' = 0 x = -1 (thỏa mãn)
 + Trường hợp 2: Khi m = 3 x ' = 0 x = - 1,5 (loại).
 Vậy m = 2 phương trình (4) có ít nhất một nghiệm nguyên
* Nhận xét: Phương trình (1) là phương trình bậc hai ẩn x (m là tham số), điều
 kiện cần để phương trình (1) có nghiệm : x ' 0 (tìm tập giá trị của f(m)).
 Với m tìm được thay vào phương trình (1) (điều kiện đủ) để kiểm tra rồi kết
 luận nghiệm cho bài toán
3.2.3 – Khai thác phân tích đa thức thành nhân tử đưa dạng phương trình 
tích, tìm nghiệm nguyên.
Phương pháp: - Đưa phương trình về dạng f1(x, y).f2(x, y)...fn(x, y) = a1a2...an
 - Xét các trường hợp xảy ra nghiệm nguyên của phương trình
Ví dụ 1: Tìm nghiệm tự nhiên của phương trình xy – 4x = 35 – 5y (1)
* Phương pháp giải: 
 Xét phương trình xy – 4x = 35 – 5y (1)
 x(y 4) 5(y 4) 35 20
 (y 4)(x 5) 15 (1')
Vì x, y N nên x + 5 5 
Mặt khác, theo phương trình (1’) x + 5 phải là ước tự nhiên của 15, ta có: 
 x 5 5 x 5 15 x 0 x 10
 hoặc hoặc 
 y 4 3 y 4 1 y 7 y 5
 Vậy phương trình (1) có nghiệm nguyên (x, y) {(0;7);(10;5)}
* Nhận xét: Dựa tính chất của x, y N nên x + 5 5 nên để giải phương trình 
(1’) chỉ xét riêng 2 trường hợp là đủ. Cần chú ý tìm đủ các ước của 15 và dùng 
phương pháp loại trừ để xét.
Ví dụ 2: Tìm số nguyên x, sao cho : x2 x p 0 với p là số nguyên tố.
* Phương pháp giải: 
 Theo bài ra: p x2 x x x 1 
mà x, (x + 1) là số nguyên liên tiếp nên x x 1 là số chẵn
 p là số chẵn. 
Mặt khác p là số nguyên tố nên p = 2 
 11 Đặt a = x + y, b = xy (a, b Z) . Phương trình (4) có dạng:
 b2 + b – a2 = 0 (4’)
 1 4a2
Để phương trình (4) có nghiệm nguyên thì 1 4a2 là số chính phương, nên:
 4a2 + 1 = k2 (k N)
 (k – 2a)(k + 2a) = 1
Ta có bảng sau:
 k – 2a 1 - 1
 k + 2a 1 - 1
 a 0 0
Thay a = 0 vào phương trình (4’), ta có:
 b2 + b = 0
 b(b + 1) = 0
 b 0
 b 1
 x y 0 x 0
 + Trường hợp 1: Với a = 0; b = 0 thì 
 xy 0 y 0
 x y 0 x 1 x 1
 + Trường hợp 2: a = 0, b = - 1 thì hoặc 
 xy 1 y 1 y 1
* Nhận xét: Với hướng tiếp cận theo cách 1 các em biết vận dụng linh hoạt 
phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử để đưa về dạng phương trình tích. 
Còn cách 2 các em thấy được vai trò của x, y như nhau trong phương trình (4) 
nên bằng phương pháp đổi biến đưa về dạng phương trình bậc hai ẩn b (a là 
tham số) để khai thác ứng dụng của phương trình bậc hai trong giải phương 
trình nghiệm nguyên. Số đông các em tiếp cận bài toán theo cách 2.
 Quan sát vào kết quả tìm được nếu thay đổi cách hỏi của ví dụ 4 ta có 
bài toán mới nhưng lời giải vẫn hoàn toàn tương tự:
Chứng minh phương trình sau không có nghiệm nguyên dương:
 x2 + xy + y2 = x2y2
 Khai thác thật tốt các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử để 
giải quyết phương trình nghiệm nguyên:
Ví dụ 5: Tìm nghiệm nguyên của phương trình:
 2xy2 + x + y + 1 = x2 + 2y2 + xy
 (Đề thi HSG cấp huyện năm 2013-2014)
* Phương pháp giải:
 Xét phương trình: 2xy2 + x + y + 1 = x2 + 2y2 + xy
 2xy2 + x + y - x2 - 2y2 – xy = - 1
 (x – x2) + (2xy2 – 2y2) + (y – xy) = - 1
 - x(x – 1) + 2y2(x - 1) – y(x – 1) = - 1
 (x - 1)(2y2 – y – x) = - 1
 (x - 1)(- 2y2 + y + x) = 1 (6’)
Do x, y là các số nguyên vế trái của phương trình (6’) là hai số nguyên. 
 13