Sáng kiến kinh nghiệm Phương pháp giải một số bài toán có chứa dấu giá trị tuyệt đối

 PHẦN I - ĐẶT VẤN ĐỀ
I- Lí do chọn đề tài:
 Toán học là môn khoa học có từ lâu đời, môn Toán là nền tảng của các môn 
khoa học tự nhiên khác và có liên quan đến nhiều ngành nhiều lĩnh vực khác 
nhau.
 Ngày nay sự phát triển của các ngành khoa học và các ngành công nghiệp 
then chốt đều không thể thiếu toán học, các ứng dụng của toán học mang lại hiệu 
quả to lớn cho đời sống xã hội. Toán học không chỉ cung cấp cho học sinh những 
kĩ năng tính toán cần thiết mà còn rèn luyện cho học sinh tư duy lô-gic, phương 
pháp luận khoa học. Dạy học toán là nhằm trang bị cho học sinh một hệ thống tri 
thức khoa học phổ thông cơ bản tạo điều kiện cho các em được hình thành và phát 
triển các phẩm chất năng lực trí tuệ đồng thời trang bị cho các em một hệ thống tri 
thức đảm bảo đủ để nghiên cứu và khám phá thế giới xung quanh, góp phần cải 
tạo thế giới, cải tạo thiên nhiên mang lại cuộc sống ấm no hạnh phúc cho mọi 
người. 
 Trong việc dạy Toán và học Toán thì việc tìm ra phương pháp dạy học và 
giải bài tập đòi hỏi giáo viên phải chọn lọc hệ thống bài tập giúp học sinh khắc 
sâu kiến thức, góp phần phát triển tư duy của các em. Trong quá trình dạy học 
toán, đặc biệt là dạy các vấn đề toán học có liên quan đến phần giá trị tuyệt đối 
cho học sinh, bản thân chúng tôi thấy rằng, đứng trước những vấn đề toán học nêu 
trên học sinh thường lúng túng, đôi khi có phần e ngại, vì đây là một phạm trù 
kiến thức tương đối trừu tượng và phức tạp. Thực tế cho thấy, những vấn đề toán 
học có liên quan đến giá trị tuyệt đối lại có ứng dụng rất rộng rãi, đặc biệt là các 
ưu thế trong việc rèn luyện các phẩm chất và năng lực toán học cho học sinh. 
Hiện nay ở trường phổ thông học sinh thường ngại học toán giá trị tuyệt đối vì 
kiến thức không liền mạch, phương pháp giải toán hạn chế, việc vận dụng giá trị 
tuyệt đối để tìm cực trị, vận dụng trong việc vẽ đồ thị của hàm số v.v lại càng 
hạn chế.
 Vì vậy việc phát triển năng lực tư duy cho học sinh thông qua việc nghiên 
cứu những vấn đề về giá trị tuyệt đối là rất cần thiết. Vì vậy với lý do nêu trên, 
chúng tôi quyết định đi sâu nghiên cứu đề tài “ Phương pháp giải một số bài toán 
có chứa dấu giá trị tuyệt đối “ nhằm giúp cho các em hiểu rõ hơn, đặc biệt là giúp 
cho các em nắm vững, vận dụng linh hoạt các phương pháp giải một số dạng bài 
tập có chứa dấu giá trị tuyệt đối.
II- Mục đích nghiên cứu:
 - Đề tài nhằm giúp học sinh học tập môn toán nói chung và giải bài tập về 
 giá trị tuyệt đối nói riêng, trang bị cho học sinh một số kiến thức mới nhằm 
 nâng cao năng lực học toán, giúp các em tiếp thu bài chủ động, sáng tạo và 
 làm công cụ giải quyết một số bài tập có liên quan đến giá trị tuyệt đối.
 - Gây hưng thú cho học sinh khi giải các bài tập trong SGK, Sách tham khảo, 
 giúp học sinh tự giải có hiệu quả một số bài tập tương tự khác.
 - Giải đáp thắc mắc, sửa chữa sai lầm hay gặp khi giải toán về giá trị tuyệt 
 đối trong quá trình dạy học.
 1 f: R R+
 a a 
 Với mỗi giá trị a R có một và chỉ một giá trị f(a) =  a  R+ 
2) Định nghĩa 2:
 Giá trị tuyệt đối của một số thực a, kí hiệu  a  là:
 a nếu a 0
  a  =
 - a nếu a < 0
 * Mở rộng khái niệm này ta có giá trị tuyệt đối của một biểu thức A(x) :
 A(x) nếu A(x) 0
  A(x)  =
 - A(x) nếu A(x) < 0
 Ví dụ: 
 2x - 1 nếu 2x - 1 0
  2x-1  =
 - (2x -1) nếu 2x -1 < 0
 2x - 1 nếu x ½ 
  2x-1  =
 - (2x -1) nếu x < ½ 
3) Định nghĩa 3:
a) Giá trị tuyệt đối của số nguyên a, kí hiệu là  a  là số đo (theo đơn vị dài 
 được dùng để lập trục số) của khoảng cách từ điểm a đến gốc O trên trục 
 số.
 -a 0 a
  -a   a  a
 3
Ví dụ:  a  = 3 a = 
 3
Do đó đẳng thức đã cho được nghiệm đúng bởi 2 số tương ứng với hai điểm 
trên trục số 
 -3 0 3
 a
Tổng quát:
 a b b
 a 
 b 0 b
 b
 a b a 
 b
 b) Tổng quát : 
 a b -b a b
 Ví dụ : 
 3 6) Tính chất 6: a - b a- b a + b .
 Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a.b 0
 Thật vậy :
 a = a – b + b a- b + b 
 a - b a- b (1)
 a- b = a + (-b) a + -b = a + b 
 a- b a + b (2)
 Từ (1) và (2) suy ra : a - b a- b a + b (đpcm)
7) Tính chất 7: a - b a b 
 Thật vậy :
 a - b a- b (1)
 b - a b- a = -(a- b) = a- b 
 -( a - b ) a- b (2)
 a - b = a - b 
 -( a - b ) (3)
 Từ (1),(2),(3) suy ra 
 a - b a - b (4)
 a - b = a - -b a – (-b) = a + b 
 a - b a + b (5)
 Từ (4),(5) suy ra :
 a - b a b (đpcm)
8) Tính chất 8: a.b = a . b 
 Thật vậy:
 * nếu a = 0; b = 0 hoặc a = 0; b 0 hoặc a 0; b = 0
 a.b = a . b 
 * Nếu a>0; b>0 
 a = a; b = b và a.b > 0
 a.b = a.b = a . b a.b = a . b 
 * Nếu a <0; b< 0 
 a = -a; b = -b và a.b > 0
 a.b = a.b = (-a).(-b) = a . b 
 a.b = a . b 
 * Nếu a> 0; b<0 
 a = a; b = -b và a.b < 0
 a.b = -(a.b) = a.(-b) = a . b 
 5 tính đại số quen biết. Thông thường ta sẽ được các biểu thức khác nhau( không 
chứa dấu giá trị tuyệt đối) trong những khoảng khác nhau.
 2. Phương pháp biến đổi: 
 * Nhị thức ax + b (a ≠ 0 ) cùng dấu với a khi x > - b/a , và trái dấu với a 
khi x< - b/a
 Thật vậy: Gọi x 0 là nghiệm của nhị thức ax + b thì x 0 = - b/a.
 Xét :(ax + b) / a = x+ b/a = x – x 0
 Nếu x > x 0 thì x – x 0 > 0 :(ax + b) / a > 0 ax + b cùng dấuvới a
 Nếu x < x 0 thì x – x 0 < 0 :(ax + b) / a < 0 ax + b trái dấu với a 
 Tam thức bậc hai ax 2 + bx + c ( a 0) trái dấu với a trong khoảng giữa 
hai nghiệm (nếu có), cùng dấu với a trong mọi trường hợp khác.
 3 . Bài tập áp dụng:
 Bài 1: Cho x , y là hai số thoả mãn xy > 0 tính giá trị biểu thức
 x y x y
 B = (│ xy │- │x│) + (│ xy │-│y│)
 2 2 2 2
 Giải: Biến đổi B ta có
 x y x y
 B = (│ xy │ + │ xy │) – ( │x│+│y│)
 2 2 2 2
 x y x y
 Đặt B = (│ xy │ + │ xy │) ≥ 0
 1 2 2 2 2
 Tính B 1 ta được:
 x 2 y 2 xy xy x 2 y 2
 B =xy+ x xy y xy xy x xy y xy │2xy
 1 4 4 2 2 4 4
 - 2( x y )2│= x2 + 2xy + y2 = ( x+ y)2
 y
 ( vì ( x y ) 2 ≥ xy nên │2xy -2( x y ) 2 │= 2xy -2( x y ) 2 – 2xy)
 2 2 2
 suy ra: B 1 = │x + y│
 Vậy B = │x+ y│ - (│x│ + │y│)
 Mặt khác do xy ≥ 0 nên x , y cùng dấu, suy ra │x + y│ = │x│+│y│
 Do đó : B = 0.
 Bài 2 :Rút gọn biểu thức sau 
 7 3 2x x
 c) C=
 2x 3 x 2
 x x 2
 d)D =
 x 2 5x 6
 e) E = │x│+│x-1│
 Bài 2:
 Cho A(x) = 2x 2 2x 1 2x 8 6 2x 1
 a) Tìm đoạn a,b sao cho A có giá trị không đổi trên đoạn đó..
 b) Tìm x sao cho A(x) > 4.
 Bài 3: Rút gọn biểu thức.
 2b x 2 1 1 a b 
 a) A = với x = 
 2 
 x x 1 2 b a 
 2
 1 1 
 2b a 1
 4 a
 b) B= với 0 < a < 1
 1 1 1 
 2 a 
 1 2 2 a 
 4 a 1
 a 
 y x y x 2 y x y x 2
 c) C = 
 xy xy z xy xy z
 2 2
 Với x > 5 ; y = x 25 ; z= x 25 .
 10x 25 15x 25
 x x 
 x x 5
 NỘI DUNG: GIẢI PHƯƠNG TRÌNH 
 CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI
I) Cơ sở lý thuyết:
 1) A(x) nếu A(x) 0
  A(x)  =
 - A(x) nếu A(x) < 0
 A(x) là một biểu thức đại số.
 2) Định lí về dấu của nhị thức bậc nhất ax + b (a 0). 
 Nhị thức bậc nhất ax + b (a 0) sẽ :
 + Cùng dấu với a với các giá trị của x lớn hơn nghiệm của nhị thức.
 9 x = 1 (thỏa mãn 2)
 + Xét 2x – 1 <0 hay x < ½ (3)
 Ta có: 2x -1 = -(2x -1)
 phương trình (1) có dạng: -(2x – 1) + x = 2
 - x = 1
 x = - 1 (thỏa mãn 3)
 Vậy phương trình (1) có hai nghiệm x1 = 1; x2 = -1
 Ví dụ2: Giải phương trình 2x 2- 5x - 1 -2x + 4 = 0 (1)
 Giải:
 + Xét 2x2- 5x - 1 0 (2) 2x2- 5x - 1 = 2x2- 5x – 1
 Phương trình (1) có dạng: 2x2- 5x – 1 -2x + 4 = 0 
 2x2- 7x + 3 = 0 
 x 1 = 3 (thỏa mãn 2)
 x2 = ½ (không thỏa mãn 2)
 + Xét 2x2- 5x - 1 < 0 (3) 2x2- 5x - 1 = - 2x2 + 5x + 1
 Phương trình (1) có dạng: - 2x2 + 5x + 1 -2x + 4 = 0 
 - 2x2- +3x + 5 = 0 
 x 3 = -1 (không thỏa mãn 3 )
 x4 = 5/2 (thỏa mãn 3)
 Vậy phương trình (1) có tập nghiệm là {3; 5/2}
2) Phương pháp 2: Xét từng khoảng giá trị của ẩn 
 Nếu ẩn nằm trong nhiều dấu giá trị tuyệt đối thì với phương pháp trên ta 
 phải xét nhiểu trường hợp, trong đó có thể có những trường hợp không xảy 
 ra. Do đó để cho gọn, người ta thường xét từng khoảng giá trị của ẩn.
 a. Cơ sở toán học: Sử dụng định lí về dấu của định lí bậc nhất ax + b 
 (a 0) 
 b. Ví dụ minh họa:
 Ví dụ: Giải phương trình 2. x -5 + 4-x =11 (1)
 Giải:
 Lập bảng xét dấu của nhị thức x- 5 và 4 –x
 X 4 5
 x -5 - - 0 +
 4 -x + 0 - -
 + Xét khoảng x < 4
 Phương trình (1) có dạng 
 2(5 – x) + 4 – x = 11
 11 4) Phương pháp 4: Phương pháp đặt ẩn phụ
 Ví dụ: Giải phương trình 3x2 + 2 x -1 = 0 (1)
 Giải:
 Đặt y = x ; y 0.
 Ta có (1) 3y2 + 2y – 1 = 0.
 y 1 = -1 (loại)
 1
 y2 = 
 3
 1 1
 x = x1 = 
 3 3
 1
 x2 = 
 3
 1 1
 Vậy phương trình có hai nghiệm: x1 = ; x2 = 
 3 3
 5) Phương trình quy về phương trình bậc nhất
 Bài 1: Giải các phương trình
 a) x│x + 3│- │x2 + x + 1│= 1 
 b) │x│3 – 3 │x│+ 2 = 0 
 Giải 
 2
 1 1 3 1 3
 Ta có : x2 + x +1 = x2 + .2x x > 0
 2 4 4 2 4
 Do đó : │x2 +x +1│= x2 +x +1 x │x + 3│= │x2 +x +1│+1
 x │x + 3│= x2 +x +1 + 1 x │x + 3│= x2 + x + 2 ( 1)
 Nêú x ≥ -3 phương trình( 1) x(x + 3) = x2 + x + 2
 x2 + 3x = x2 + x + 2
 2x = 2 x = 1 ( TMĐK )
 Nếu x < -3 phương trình(1) x(-x-3) = x2 + x + 2 - x2 – 3x = x2 + x + 2
 2x2 + 4x + 2 = 0 ( x + 1 )2 = 0 x + 1= 0
 x = -1 ( không TMĐK )
 Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x = 1
 b) Đặt t = │x│> 0 . Khi đó phương trình│x│3 - 3│x│+ 2 = 0
 ( t3 – t ) -2( t -1) = 0 t(t2 – 1) -2(t – 1) = 0
 t(t – 1) (t + 1 ) -2(t- 1) = 0 (t – 1) ( t2 + t – 2) = 0
 (t – 1) ( t2 + 2t –t – 2) = 0 (t – 1 ) [t (t + 2 ) –(t + 2)] = 0
 13