Sáng kiến kinh nghiệm Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử

 Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử
 PHẦN I: MỞ ĐẦU
 I-LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI
 Phân tích đa thức thành nhân tử, là dạng toán mà trong các chuyên đề ôn thi 
học sinh giỏi, của mỗi giáo viên không bao giờ thiếu, từ các bài kiểm tra một tiết, 
hay đến các cuộc thi chọn học sinh giỏi bao giờ cũng có. Chính vì điều đó mà bản 
thân tôi, cũng như những giáo viên dạy toán khác, khi được phân công ôn thi học 
sinh giỏi toán, hay giảng dạy bộ môn lớp toán lớp 8, những bài phân tích đa thức 
thành nhân tử bao giờ cũng được ưu tiên. Phân tích đa thức thành nhân tử là dạng 
toán khá hay, trong quá trình biến đổi, quy đồng phân thức, tìm mẫu thức chung, 
phân tích các mẫu thức thành nhân tử. Đòi hỏi ở nơi người làm nhiều kỹ năng, 
cũng như tính cẩn thận, cần lắm nhiều kinh nghiệm trong quá trình biến đổi. 
Trong các bài toán rút gọn phân thức sau này điển hình như, trong quá trình rút 
gọn các phân thức phức tạp, sau khi quy đồng mẫu thức. Việc thực hiện phép nhân 
các tử thức với nhau rồi sau đó mới rút gọn phân thức, là cách làm điển hình nhất. 
Nhưng cũng có lúc việc nhân các tử thức lại gây khó khăn cho quá trình rút gọn 
phân thức ở các bước tiếp theo. Có khi sau khi nhân các tử thức, đến bước rút gọn 
phân thức ta lại phải, phân tích nó lại thành nhân tử, để rút gọn. Vậy thì khi nào ta 
thực hiện phép nhân các tử thức với nhau, rồi rút gọn phân thức, khi nào ta giữ 
nguyên các tử thức với nhau sau khi qui đồng phân thức. Đó là một kỹ năng, mà kỹ 
năng cần ở nơi người giải toán tính thành thục, kinh nghiệm nhiều trong việc giải 
các bài toán phân tích đa thức thành nhân tử. Vậy những kinh nghiệm đó được bản 
thân tôi nghiên cứu, tìm tòi sách vở, trên mạng internet, cũng như đúc kết qua bao 
nhiêu lần giải các bài toán phân tích đa thức thành nhân tử. Để làm sao truyền đạt 
lại cho học sinh năm bắt nhanh nhất, nhận dạng nhanh nhất để làm tốt bài toán 
phân tích đa thức thành nhân tử, để sau này làm được các bài toán, rút gọn phân 
thức trong các kì thi. Đó là lí do hàng đầu tôi chia sẽ kinh nghiệm, để cùng với 
những giáo viên dạy toán chia sẽ, trao đổi để hoàn thiện hơn trong công việc dạy, 
việc ôn thi học sinh giỏi.
 Trang 1 Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử
 Giáo viên đứng trước nhiều thách thức của công cuộc cải cách, nhu cầu ngày 
một cao, cũng như ngày một hiện đại, thì việc nghiên cứu, tự học tập luôn được 
nêu cao. Bởi nếu không tự học hỏi, không tự tìm tòi là bản thân người giáo viên 
đang tự đẩy lùi bản thân mình với nhịp phát triển của xã hội, so với sự phát triển 
của công nghệ. Không những vậy, người giáo viên còn làm mất đi hình ảnh của 
bản thân mình với từng thế hệ học sinh. Ngày nay, nhà nước ta đã kịp nhận ra sự ỉ 
lại của một bộ phân không nhỏ giáo viên, vì chủ quan, vì mưu cầu cuộc sống, mà 
giáo viên không tự trao dồi tri thức, học hỏi phương pháp dạy học tiến tiến. Điều 
này làm môi trường giáo dục dậm chân tại chỗ. Những cuộc vận động học tập và 
làm theo tấm gương đạo đức, phong cách sống của Hồ Chí Minh đang cần thiết và 
cấp bách. Mỗi thầy cô giáo là tấm gương đạo đức tự học tập và sáng tạo. Chính vì 
lẽ đó bản thân tôi luôn tìm tòi nghiên cứu, tìm ra những phương pháp dạy phù hợp 
với từng đối tượng học sinh. Trong đó có việc viết sáng kiến kinh nghiệm, chính vì 
tham gia viết sáng kiến kinh nghiệm mà bản thân phải nỗ lực nhiều hơn, tìm tòi 
nhiều hơn để sáng kiến đạt chất lượng. Qua qúa trình nghiên cứu để viết hoàn thiện 
một sáng kiến, bản thân tôi nhận thấy mình có được thật nhiều kiến thức, nhiều 
kinh nghiệm. mà hơn hết là kinh nghiệm giảng dạy, làm thế nào để học sinh học tốt 
hơn về môn toán, học sinh ham học toán hơn đó là mục đích tôi muốn vương tới, 
đăc biệt trong sáng kiến này, tôi muốn học sinh thành thạo các bước khi làm bài 
toán phaantichs đa thức thành nhân tử, học sinh khá giỏi thì có kỹ năng sắc bén, kỹ 
năng định hướng đúng đắn khi làm bài tập rút gọn phân thức qua các cuộc thi, đặc 
biệt là cuộc thi phát hiện học sinh giỏi các cấp.
 III- ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU
 Học sinh khối 8, khối 9, nghiên về dội tuyển ôn thi học sinh giỏi. Trường 
THCS Phạm Hồng Thái xã Eapô – huyện Cư Jút – tỉnh Đăk Nông.
 IV- PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
 Trong sáng kiến kinh nghiệm “Một số phương pháp phân tích đa thức thành 
nhân tử” này tôi đã sử dụng một số phương pháp nghiên cứu khoa học như sau: 
Phân tích lí thuyết, điều tra cơ bản, sử dụng phương pháp thốn kê thực nghiệm cơ 
 Trang 3 Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử
sinh” Sáng kiến về chủ nhiệm để kịp thời tham gia thi giáo viên chủ nhiệm giỏi. 
Hai sáng kiến trên được đồng nghiệp tín nhiệm, định hướng tham gia dự thi và cả 
hai sáng kiến này đều được giải B cấp tỉnh năm học 2014 – 2015, năm học 2015 -
2016
 PHẦN II: GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
 I- CƠ SỞ LÍ LUẬN
 Bộ môn toán học rất cần thiết, nó đóng vai trò rất quan trọng trong các bậc 
học phổ thông. Dạy toán chính là dạy cho học sinh tư duy logic và cách lập luận 
khoa học
 Học toán chính là học tu duy logic trừu tượng, giải toán là tập hợp hợp rất 
nhiều phương pháp biến đổi, nhưng chỉ có duy nhất một đáp án. Chính vì vậy qúa 
trình giải một bài toán khó học sinh cần rất nhiều kỹ năng. Qua việc giải các bài 
toán khó giáo viên giúp cho học sinh tiếp thu được nhiều điều, mà ở nơi học sinh 
cũng rèn được tính cẩn thận, tính quyết đoán. Từ dó phát triển tư duy thành kỹ 
năng kỹ xảo.
 Học toán đòi hỏi tính cần cù và không thể thiếu sự thông minh sáng tạo. Vì 
vậy học toán là học từ cái dễ đến cái khó, đó là một vấn đề cơ bản mà mỗi người 
thầy ai cũng biết. Từ đó ta thấy được việc học không chỉ đòi hỏi tư duy sáng tạo, 
mà con đòi hỏi nơi người học và người thấy một cái tâm và niềm đam mê. Chính 
vì vậy ngày nay bên cạnh giáo dục văn hóa, Bộ Giáo Dục - Đào Tạo yêu cầu nhà 
trường lồng ghép vào giáo dục đạo đức, kỹ năng sống cho học sinh, để từ đó các 
em phát triển toàn diện, còn việc giúp học sinh có niềm say mê học toán, là cả một 
quá trình, mang tính nghệ thuật riêng của mỗi giáo viên. Từ đó ta kết luận được 
rằng bộ môn toán không nằm ngoài quá trình phát triển toàn diện của các em học 
sinh.
 Những vấn đề mà tôi nêu trên, là một sự đúc kết kinh nghiệm, để từ đó trong 
giảng dạy, tôi phải thay đổi, phải vận dụng phương pháp mới làm sao linh hoạt, 
nhằm giúp học sinh học tốt hơn. Thông thường sau mỗi tiết dạy, sau những lần 
kiễm tra đánh giá định kì, tôi xem bài làm của học sinh thật kỹ, nhằm nắm bắt 
 Trang 5 Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử
học sinh. Giáo viên chủ nhiệm khó mà gặp được phụ huynh để trao đổi việc học 
của học sinh.
 Hiện nay trên địa bàn xã nhiều kỹ sư, nhiều em học đại học, cao đẳng ra 
trường không có việc làm, tiền đầu tư để đi học không hề nhỏ. Chính vì vậy gây 
tâm lý cho học sinh, cũng như phụ huynh. Từ đó mục đích vì lợi ích học tập bị coi 
nhẹ, có nhiều phụ huynh cho con học chỉ để biết chữ, chủ yếu vẫn theo phụ huynh 
làm rẫy.
 Cơ sở vật chất nhà trường còn nhiều hạn chế, chưa đáp ứng được nhu cầu 
học tập của học sinh, cũng như nhu cầu trong việc giảng dạy của giáo viên. Có 
nhiều đồ dùng không còn sử dụng được, điều này ảnh hưởng đến nhiều tiết thực 
hành, nhiều tiết dạy học giáo viên dạy không có đồ dùng, vì hỏng. Theo phương 
pháp mới của Bộ, thì chưa đáp ứng được một tiết dạy.
 3. Khảo sát thực tế
 Trong quá trình dạy học, cũng như ôn thi học sinh giỏi, ôn thi học sinh giải 
toán trên mạng. Khi gặp các bài toán phân tích đa thức thành nhân tử, về phân 
thức, phần lớn giáo viên hướng dẫn, nhiều thì học sinh mới làm được. Vì nhiều kỹ 
năng các em còn chậm, chưa nắm bắt hết, hoặc các em nhớ cách làm nhưng chưa 
vững cách phân tích, dẫn đến kết quả chưa cao. Chính vì điều này tôi cần có 
phương pháp, cần có cách giúp học sinh nắm bắt kiến thức tốt hơn, hướng dẫn học 
sinh có kỹ năng tốt hơn, từ đó khi làm bài không cần sự định hướng của giáo viên 
các em cũng hoàn thành được bài.
 Năm 2010 tôi được phân công giảng dạy lớp 8, qua quá trình giảng dạy trên 
lớp, sau tiết luyện tập, tôi kiểm tra học sinh, phần lớn các em vẫn chưa có kỹ năng 
làm bài. Các em không đáp ứng được các mục tiêu đề ra, chính vì vậy tôi dành 
thêm buổi ngoại khóa, phụ đạo cho các em. Qua những tiết phụ đạo, tôi áp dụng 
các cách mà bản thân mình đã suy nghĩ nhiều, truyền đạt lại cho các em, các em đã 
làm bài tốt hơn, nhưng nhũng học sinh trung bình yếu thì vẫn chưa tiến bộ lắm.
 Năm 2011 tôi được phân công dạy lớp 9, dạng rút gọn phân thức, bây giờ 
càng trở nên khó hơn, vì nó còn liên quan đến căn thức. các em còn quên đi kỹ 
năng phân tích đa thức thành nhân tử, nhân phân thức. Khi đó trong đầu tôi đang 
 Trang 7 Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử
việc phân tích đa thức thành nhân tử không gây khó khăn. Tuy nhiên để thuận tiện 
việc nhận dạng thì ta chia bảy hằng đẳng thức thanh ba nhóm
 Nhóm 1: nhóm có hai hạng tử
 A2 – B2 = (A – B)(A + B)
 A3 – B3 = (A – B)(A2 + AB +B2)
 Nhóm 2: nhóm có ba hạng tử
 A2 + 2AB + B2 = (A + B)2
 A2 – 2AB + B2 = (A – B)2
 Nhóm 3: nhóm có bốn hạng tử
 A3 + 3A2B + 3AB2 + B3 = (A + B)3
 A3 – 3A2B + 3AB2 – B3 = (A – B)3
 Việc chia thành ba nhóm như thế này, khi hướng dẫn học sinh làm bài tập, 
phân tích đa thức thành nhân tử, thì các em làm nhanh hơn nhận dạng nhanh hơn. 
Khi gặp bài toán phân tích đa thức thành nhân tử nếu có sử dụng phương pháp 
dung hằng đẳng thức. Thì tôi thường gợi ý các em đa thức đó có mấy hạng tử, sau 
đó kiểm tra xem có tuân theo một trong bảy công thức của bảy hằng đẳng thức hay 
không. Nếu có thì đưa ngay về.
 Ví dụ: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
 a)4x2 + 6x + 9
 b)36 – 12x + x2 
 c)8x3 + 12x2y + 6xy2 + y3 
 d) 27y3 – 27y2x + 9yx2 - x3 
 Bài làm :
 a)4x2 + 6x + 9
 GV: Đa thức này có mấy hạng tử ? 
 HS: Đa thức này có ba hạng tử ?
 GV: Vậy đa thức này làm em liên tưởng đến hằng đẳng thức nào trong bảy 
hằng đẳng thức đáng nhớ ? Vì sao ?
 HS: Đa thức này làm em liên tưởng đến hằng đẳng thức số 1 (A + B)2, vì khi 
khai triển (A + B)2 ta được đa thức gồm ba hạng tử mang dấu cộng hết.
 Trang 9 Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử
 c) 4x2 + 5x – 6 d)3x2 + 10x + 3
 Bài làm:
 Nội dung Hoạt động của thầy và trò
a)x2 – 5x + 6 GV: đa thức trên có hệ số bằng bao 
= x2 – 2x – 3x + 6 nhiêu ? hệ số tự do bằng bao nhiêu ?
= (x2 – 2x) – (3x – 6) HS: Đa thức trên có hệ số bằng 1, có hệ 
= x(x – 2) – 3(x – 2) số tự do bằng 6
= (x – 2)(x – 3) GV: Tích của hai hệ số này bằng bao 
 nhiêu?
 HS: Tích của chúng bằng 6
 GV: Tìm hai số m, n sau cho
 m + n = - 5 và m.n = 6 ?
 HS : m = -3 và n = -2
 GV : Vậy bài toán này để làm được ta 
 tách -5x thành -2x và -3x, sau đó ta sử 
 dụng phương pháp nhóm hạng tử, đặt 
 nhân tử chung ta hoàn thiện bài
 HS : Lên bảng trình bày bài làm
b)x2 + 9x + 20 Gv : Tích của hệ số tự do và hệ số của 
= x2 + 4x + 5x + 20 đa thức bằng bao nhiêu ?
= (x2 + 4x) + (5x + 20) HS : bằng 1.20 = 20
= x(x + 4) + 5(x + 4) GV : Ta tách số 9 như thế nào hợp lí
= (x + 4)(x + 5) HS : 9 = 4 + 5 và 4.5 = 20
 Suy ra 9x = 4x + 5x
 HS : Hoàn thiện bài làm
c)4x2 + 5x – 6 GV : Tích của hệ số đa thức và hệ số tự 
= 4x2 + 5x + 3x – 3x – 6 do bằng bao nhiêu ?
= 4x2 + 8x – 3x – 6 HS : bằng = 4.(- 6) = - 24
= (4x2 + 8x) – (3x + 6) GV : Ta cần tìm hai số n và m sao cho
 Trang 11