Sáng kiến kinh nghiệm Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức

 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘI
 -----------***-----------
 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 
 “MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP 
CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC”
 Mụn: Toỏn
 Cấp học: THCS
 Tỏc giả: Trần Thị Kim Hoa
 Đơn vị cụng tỏc:Trường THCS Tản Đà
 Chức vụ: Giỏo viờn
 Năm học :2019 – 2020 Một số phương phỏp chứng minh bất đẳng thức
 -Học sinh còn mắc lỗi khi dùng kí hiệu , câu chữ lủng củng ; nhân hai vế 
của bất đẳng thức, bất phương trình với số âm mà không đổi chiều bất đẳng thức 
,bất phương trình .
 -Với những bài chỉ sử dụng giả thiết nếu không tìm ra lời giải thì học sinh 
thường bế tắc , ít sáng tạo dẫn đến các em ngại khó và bỏ qua .
 - Tài liệu dùng cho học sinh còn ít dẫn đến việclựa chọn và giải bài tập 
còn nhiều hạn chế
 3. Lý do chọn đề tài
 Bất đẳng thức đại số là một chuyên đề cơ bản và tương đối khó trong 
chương trình đại số phổ thông . Các bài toán về bất đẳng thức đại số rất phong 
phú , đa dạng . Đòi hỏi cần vận dụng các phương pháp giải vào từng bài một 
cách hợp lí , để đem lại kết quả bài toán một cách nhanh gọn , dễ hiểu hay nhiều 
khi khá độc đáo và bất ngờ.
 - Chứng minh bất đẳng thức là một dạng toỏn hay và khú, nú thu hỳt, hấp dẫn 
tất cả cỏc học sinh THCS từ lớp 6, lớp 7, lớp 8, lớp 9. 
 - Chứng minh bất đẳng thức cú mặt hầu hết trong cỏc kỳ thi khảo sỏt chất 
 lượng HSG toỏn cỏc cấp từ cấp Quận, Huyện , Thành Phố cho đến thi vào 
 lớp 10, thi vào cỏc trường chuyờn trong cả nước.
 - Chứng minh bất đẳng thức rất đa dạng, mỗi bài lại cú cỏch giải riờng phự 
 hợp với nú.
 Chớnh vỡ những lý do trờn mà tụi chọn đề tài này, được viết ra từ quả trỡnh 
 bản thõn giảng dạy, bồi dưỡng HSG.
II.THỜI GIAN, ĐỐI TƯỢNG VÀ PHẠM VI NGHIấN CỨU
 1. Thời gian nghiờn cứu:
 Vỡ dạng toỏn này quỏ rộng, phương phỏp giải lại rất phong phỳ nờn tụi đưa ra 
 cỏc bài toỏn điển hỡnh, sắp xếp từ đơn giản đến phức tạp.
 Thời gian thực hiện từ tháng 9 đầu năm học đến hết tháng 5 trong năm 
học. Và trong suốt quá trình các em học trờn lớp, trong đợt ôn luyện thi học sinh 
giỏi và ụn thi vào lớp 10
 2 . Đối tượng nghiên cứu :
 - Học sinh ở lứa tuổi 14 -15 ở trường THCS vì đa số các em thích học 
toán và bước đầu thể hiện năng lực tiếp thu một cách ổn định .
 - Đối tượng khảo sát : học sinh lớp 8 ,9 và trong các giờ luyện tập, ôn tập . 
luyện thi học sinh giỏi cấp huyện, cấp thành phố, ụn thi vào 10 và thi vào cỏc 
trường 
 1 . Phạm vi nghiờn cứu :
 Phát triển năng lực tư duy của học sinh thông qua giải toán bất đẳng thức
 2/20 Một số phương phỏp chứng minh bất đẳng thức
 3, Tớnh chất 3: Tớnh chất đơn điệu của phộp cộng.
 a > b a + c > b + c
 Hệ quả : a > b a - c > b - c 
 a + c > b a > b - c 
 4, Tớnh chất 4: Cộng từng vế của hai bất đẳng thức cựng chiều.
 a > c và b > d => a + b > c + d 
 5, Tớnh chất 5: Trừ từng vế của hai bất đẳng thức ngược chiều 
 a > b và c a - c > b - d 
 6, Tớnh chất 6: Tớnh chất đơn điệu của phộp nhõn.
 a > b và c > 0 => ac > bc 
 a > b và c ac < bc 
 7, Tớnh chất 7: Nhõn từng vế hai bất đẳng thức cựng chiều mà hai vế 
khụng õm. 
 a b 0 ; c d 0 => ac bd
 8, Tớnh chất 8: Nõng lờn lũy thừa.
 a > b > 0 => an > bn 
 a > b an > bn với n lẻ 
 | a | > | b | a n > b n với n chẵn 
 9, Tớnh chất 9: So sỏnh nghịch đảo.
 a > b; ab > 0 => < 
 10, Tớnh chất 10: So sỏnh hai lũy thừa
 Với m > n >0 thỡ
 a > 1 a m > a n 
 a =1 a m = a n 
 0 < a < 1 a m < a n 
3.Một số hằng bất đẳng thức thụng dụng :
 1, Bất đẳng thức A2 0 với mọi A; dấu '' = '' xảy ra khi A = 0 
 2, Bất đẳng thức Cụsi: 
 - Dạng khụng chứa dấu căn:
 a 2 + b 2 2ab (a + b) 2 4ab ( ) 2 ab 
 Dấu đẳng thức xảy ra khi : a = b 
 - Dạng chứa dấu căn:
 a b
 Với 2 số khụng õm a, b ta cú: ab 
 2
 Dấu đẳng thức xảy ra khi : a = b 
 - Mở rộng: với a, b, c khụng õm thỡ ( ) 3 abc
 Dấu đẳng thức xảy ra khi : a = b =c.
 3, Bất đẳng thức Bunhiacụpxki : 
 Với mọi số a; b; x; y ta cú : ( ax + by )2 (a2 + b2)(x2 + y2)
 a b
 Dấu đẳng thức xảy ra 
 x y
 4, Bất đẳng thức giỏ trị tuyệt đối : 
 +) a b a b
 4/20 Một số phương phỏp chứng minh bất đẳng thức
 2
 a 2 b 2 a b 
 => H 0 với mọi a, b => 
 2 2 
 Dấu '' = '' xảy ra khi a = b .
Bài tập tự luyện:
 Bài 1: Cho a > b, chứng minh rằng x 5 - y 5 x y 4 - x 4 y
Bài 2: Chứng minh rằng + với a; b > 0
Bài 3: Chứng minh cỏc bất đẳng thức sau:
 a, a 2 + b 2 + c 2 + 3 2(a + b + c)
 b, (a 10 + b 10 )(a 2 + b 2 ) (a 8 + b 8 )(a 4 + b 4 ) 
 2. Phương phỏp 2: Dựng cỏc tớnh chất của bất đẳng thức:
 - Phương phỏp: Vận dụng hợp lớ cỏc tớnh chất của bất đẳng thức đó được 
học (10 tớnh chất) để suy ra cỏc bất đẳng thức cần chứng minh.
 - Vớ dụ : 
VD 2.1: 
Cho a 2; b 2. Chứng minh rằng ab a + b.
Hướng dẫn: 
Do a 2 và b > 0 nờn ab 2b (1)
Do b 2 và a > 0 nờn ab 2a (2)
Cộng từng vế của hai bất đẳng thức cựng chiều (1) và (2), ta được 2ab 2(a +b)
Chia hai vế cho 2 ta được ab a + b.
 VD 2.2:
 Cho 0 < a, b, c, d < 1. Chứng minh rằng : 
 (1 - a)(1 - b)(1 - c)(1 - d) > 1 - a - b - c - d .
 Hướng dẫn: 
 Ta cú : (1 - a)(1 - b) = 1 - a - b + ab
 Do a, b > 0 nờn ab > 0 => (1 - a)(1 - b) > 1 - a - b .
 Do c 0 => (1 - a)(1 - b)(1 - c) > (1 - a - b)(1 - c) 
  (1 - a)(1 - b)(1 - c) > 1 - a - b - c + ac + bc .
 Do 0 0; ac + bc > 0 
 =>(1 - a)(1 - b)(1 - c) > 1 - a - b - c 
 => (1 - a)(1 - b)(1 - c)(1 - d) > (1 - a - b - c)(1 - d)
 => (1 - a)(1 - b)(1 - c)(1 - d) > 1 - a - b - c - d + ad + bd + cd
 Do ad + bd + cd > 0 
 => (1 - a)(1 - b)(1 - c)(1 - d) > 1 - a - b - c - d .
VD 2.3 : 
Cho 0 < a, b, c < 1 . Chứng minh rằng :
 2a3 + 2b3 + 2c3 < 3 + a2b + b2c + c2a 
Hướng dẫn: 
 Do 0 a3 < a2 < a < 1; b3 < b2 < b < 1 
 Ta cú: (1 - a2) (1 - b) > 0 => 1 + a2b > a2 + b 
 => 1 + a2b > a3 + b3 
 hay a3 + b3 < 1 + a2b .
 Tương tự: b3 + c3 < 1 + b2c 
 c3 + a3 < 1 + c2a .
 6/20 Một số phương phỏp chứng minh bất đẳng thức
 3
 a 3 b3 a b 
Chứng minh bất đẳng thức: với a > 0; b > 0
 2 2 
 Hướng dẫn: 
 Dựng phộp biến đổi tương đương : Với a > 0; b > 0 => a + b > 0
 3
 a 3 b3 a b 
 2 2 
 2
 a b a b a b 
  .(a 2 ab b 2 ) . 
 2 2 2 
 2
 a b 
  a2 - ab + b2 
 2 
 2 2 2 2
  4a - 4ab + 4b a + 2ab + b 
 2 2
  3(a - 2ab + b ) 0
 2
  (a - b) 0 
 3
 a 3 b3 a b 
 Bất đẳng thức cuối cựng đỳng, suy ra : 
 2 2 
 Dấu “ = “ xảy ra  a = b
VD 3.3:
 1
 Cho 2 số a, b thoả món a + b = 1 . CMR a3 + b3 + ab 
 2
Hướng dẫn: 
 1 1
 Ta cú : a3 + b3 + ab a3 + b3 + ab - 0
 2 2
 1
 (a + b)(a2 - ab + b2) + ab - 0 vỡ a + b = 1
 2
 1
 a2 + b2 - 0 . 
 2
 2a2 + 2b2 - 1 0
 2a2 + 2(a -1)2 - 1 0 ( vỡ b = a -1 )
 4a2 - 4a + 1 0
 (2a - 1)2 0
 1
 Bất đẳng thức cuối cựng đỳng . Vậy a3 + b3 + ab 
 2
 1
 Dấu '' = '' xảy ra khi a = b = 
 2
VD 3.4 : 
Với a > 0, b > 0 . Chứng minh bất đẳng thức :
 a b
 a b 
 b a
 Hướng dẫn: 
 Dựng phộp biến đổi tương đương :
 a b
 a b 
 b a
 8/20 Một số phương phỏp chứng minh bất đẳng thức
 - Phương phỏp: Dựng một số hằng bất đẳng thức thụng dụng như: Cụsi, 
Bunhiacụpxki, bất đẳng thức chứa dấu giỏ trị tuyệt đối để biến đổi và chứng 
minh bài toỏn. 
 - Nhắc lại: 
* Bất đẳng thức Cụsi: 
 - Dạng khụng chứa dấu căn:
 a 2 + b 2 2ab (a + b) 2 4ab ( ) 2 ab 
 Dấu đẳng thức xảy ra khi : a = b 
 - Dạng chứa dấu căn:
 a b
 Với 2 số khụng õm a, b ta cú: ab 
 2
 Dấu đẳng thức xảy ra khi : a = b 
 - Mở rộng: với a, b, c khụng õm thỡ ( ) 3 abc
 Dấu đẳng thức xảy ra khi : a = b =c.
* Bất đẳng thức Bunhiacụpxki : 
 Với mọi số a; b; x; y ta cú : ( ax + by )2 (a2 + b2)(x2 + y2)
 a b
 Dấu đẳng thức xảy ra 
 x y
* Bất đẳng thức giỏ trị tuyệt đối : 
 +) a b a b
 Dấu đẳng thức xảy ra khi: ab 0
 - Cỏc vớ dụ :
VD 4.1 : Giả sử a, b, c là cỏc số dương , chứng minh rằng:
 a b c
 2 
 b c c a a b
 Hướng dẫn: 
 Áp dụng BĐT Cụsi cho hai số dương a và b+c, ta cú : 
 a 2a
 a + (b + c) 2 a(b c)  . Dấu “ = “ xảy ra  a = b+c
 b c a b c
 Tương tự ta thu được :
 b 2b
 Dấu “ = “ xảy ra  b = c+a
 c a a b c
 c 2c
 Dấu “ = “ xảy ra  c = a+b
 a b a b c
Dấu “ = “ của ba bất đẳng thức trờn khụng thể đồng thời xảy ra, vỡ khi đú nếu cú 
a = b+c; b = c+a; c = a+b thỡ suy ra a+b+c = 0 ( trỏi với giả thiết a, b, c đều là số 
dương ).
Cộng từng vế của ba bất đẳng thức trờn ta được: 
 a b c
 2
 b c c a a b
VD 4.2:
 Cho x, y là 2 số thực thoả món : 
 10/20 Một số phương phỏp chứng minh bất đẳng thức
VD 4.4 
 1 1 4
 Cho x, y > 0 . Chứng minh rằng : 
 x y x y
Hướng dẫn: 
 Áp dụng bất đẳng thức Cụsi cho từng bộ hai số dương x và y; và ta cú:
 x y 2 xy
 1 1 2
 x y xy
 1 1 
 => (x + y) 4 
 x y 
 1 1 4
 => 
 x y x y
Dấu “ = “ xảy ra  x = y
VD 4.5
 Cho a, b ,c > 0. Chứng minh rằng + + 3
Hướng dẫn: 
Áp dụng bất đẳng thức Cụsi cho bộ ba số dương ; và ta được:
 3
 a b c 
 b c a a b c
 . . 1 suy ra + + 3
 3 b c a
Dấu “ = “ xảy ra  a = b = c
 5. Phương phỏp 5: Chứng minh phản chứng .
- Phương phỏp: Giả sử phải chứng minh bất đẳng thức nào đú đỳng, ta giả sử bất 
 dẳng thức đú sai, rồi vận dụng cỏc kiến thức đó biết và giả thiết của đề bài
để suy ra điều vụ lý .
 Điều vụ lý cú thể là trỏi với giả thiết hoặc là những điều trỏi ngược nhau 
hoặc là trỏi với cỏc điều đó được chứng minh là đỳng. Từ đú suy ra bất đẳng 
thức cần chứng minh là đỳng .
 Một số hỡnh thức chứng minh phản chứng:
 + Phủ định rồi suy ra điều trỏi với giả thiết .
 + Phủ định rồi suy ra trỏi với điều đỳng .
 + Phủ định rồi suy ra hai điều trỏi ngược nhau .
 - Cỏc vớ dụ : 
VD 5. 1: 
Cho 0 < a, b, c < 1. Chứng minh rằng: cú ớt nhất một trong ba bất đẳng thức sau 
là sai : a(1 - b) > ; 3b(1 - c) > 2; 12c(1 - a) > 1
Hướng dẫn: 
 Giả sử cả ba bất đẳng thức trờn đều đỳng . Nhõn từng vế ta cú: 
 36abc (1 - a)(1- b)(1 - c) > 
 12/20