Sáng kiến kinh nghiệm Một số dạng Toán ứng dụng dạng toàn phương của đa thức bậc hai

 “Một số dạng Toán ứng dụng dạng toàn phương của đa thức bậc hai”
 PHẦN I: MỞ ĐẦU
 1. ĐẶT VẤN ĐỀ
 Toán học là một trong những khái niệm trừu tượng nhất mà bộ não con 
người phải tư duy. Khả năng đếm, tính toán và sử dụng mối quan hệ giữa các 
con số là một trong những thành tựu vĩ đại nhất của nhân loại. Toán giúp cho 
học sinh có tư duy logic rành mạch, điều này mọi ngành nghề của các em sẽ làm 
trong tương lai luôn cần tới, chính vì thế mà Toán học rất quan trọng đối với bản 
thân mỗi người học. Do đó người giáo viên dạy Toán phải luôn trau dồi về kiến 
thức và phương pháp giảng dạy để theo kịp với xu hướng phát triển của bộ môn 
và tư duy phát triển của nhân loại. Là một giáo viên dạy Toán của trường trung 
học cơ sở bên cạnh việc giảng dạy cho các em về kiến thức cơ bản trong sách 
giáo khoa thì việc bồi dưỡng nâng cao cho các học sinh khá giỏi là một nhiệm 
vụ quan trọng. Tôi luôn ghi nhớ “Kết thúc đời học sinh chúng em sẽ không nhớ 
những thầy cô giáo đã giảng cho những bài toán khó. Học sinh chỉ nhớ những 
thầy cô giáo đã khơi gợi, khuyến khích để chúng em có thể tự giải được những 
bài toán đó” (Thế giới phẳng - Thomas Friedman); hay một câu khác “Một thầy 
giáo vĩ đại là thầy giáo biết truyền cảm hứng”. Là giáo viên dạy toán ngoài việc 
tiếp thu kiến thức của bộ môn, của các nhà toán học, tôi luôn phải tìm tòi sáng 
tạo những phương pháp giảng dạy phù hợp cho từng đối tượng học sinh để mang 
lại cho các em hứng thú học tập và kết quả học tập tốt nhất. Trong những năm 
gần đây, qua quá trình giảng dạy tôi nhận thấy có rất nhiều dạng toán khó mà để 
giải được thì ta phải đưa về dạng toàn phương của đa thức bậc hai.
 Trong chương trình toán trung học cơ sở thì bảy hằng đẳng thức đáng nhớ 
vô cùng quan trọng, đặc biệt là hai hằng đẳng thức đầu tiên: 
(A B)2=A2 2AB+B2. Chúng không những giúp cho học sinh phương pháp tính 
nhanh, một phép biến đổi để rút gọn một biểu thức mà chúng còn được sử dụng 
vào các dạng toán khó như: Giải phương trình, chứng minh bất đẳng thức, tìm 
giá trị lớn nhất, nhỏ nhất và khi biết vận dụng hai hằng đẳng thức này để đưa 
các đa thức về “Dạng toàn phương của đa thức bậc hai” thì việc giải các bài 
toán đó lại không mấy khó khăn.
 Trên thực tế ứng dụng “Dạng toàn phương của đa thức bậc hai” vào giải 
các bài toán: Giải phương trình, chứng minh bất đẳng thức, tìm giá trị lớn nhất, 
nhỏ nhất chưa có tài liệu nào khai thác đầy đủ ở mọi dạng toán đã nêu ở trên, 
trong khi đó các dạng bài tập này luôn được đưa vào trong các đề thi học sinh 
giỏi, đề thi vào lớp 10 và đề thi vào các trường chuyên  học sinh muốn giải 
được thì phải sử dụng “Dạng toàn phương của đa thức bậc hai”. 
 2/32 “Một số dạng Toán ứng dụng dạng toàn phương của đa thức bậc hai”
 5. Đối tượng nghiên cứu:
 Các dạng toán: Giải phương trình, chứng minh bất đẳng thức, tìm giá trị 
lớn nhất, nhỏ nhất của đa thức.
 Các đề thi học sinh giỏi, đề thi vào lớp 10, đề thi vào trường chuyên lớp 
chọn.
 6. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
 Nghiên cứu lí luận: Nghiên cứu trong các sách bồi dưỡng, sách nâng cao và 
phát triển, các đề thi học sinh giỏi, đề thi vào lớp 10 và các đề thi vào các trường 
chuyên lớp chọn, nghiên cứu trên mạng internet, nghiên cứu qua đồng nghiệp 
 Nghiên cứu thực nghiệm: Tiến hành soạn giảng giáo án và dạy thực 
nghiệm trên học sinh lớp 8A, 8B trong trường tôi công tác và dạy cho các đội 
tuyển học sinh giỏi và học sinh thi vào lớp 10 và thi vào các trường chuyên lớp 
chọn
 Phân tích đối chiếu: Phân tích đối chiếu yêu cầu giữa chuẩn kiến thức, 
chuẩn kĩ năng đối với học sinh lớp 8, 9 bậc trung học cơ sở với những bài kiểm 
tra, khảo sát của học sinh, tìm ra những hạn chế chủ yếu của các em khi Giải 
phương trình, chứng minh bất đẳng thức, tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất 
 Đưa ra những giải pháp để giáo viên vận dụng vào việc rèn luyện kĩ năng 
sử dụng “Dạng toàn phương của đa thức bậc hai” cho học sinh nhằm phát huy 
khả năng tư duy, sáng tạo, của các em học sinh. 
 7. THỜI GIAN NGHIÊN CỨU
 Từ tháng 9 năm 2012 đến tháng 6 năm 2015
 4/32 “Một số dạng Toán ứng dụng dạng toàn phương của đa thức bậc hai”
 Trong đó : a1,a2 ,....,a n ,c R;a1,a2 ,....,a n 0 và A1,A2 ,...,An là các đa thức 
chứa biến.
 A1 0
 A2 0
 Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi: 
 ....
 An 0
 1.5. Tìm cực trị của một đa thức bậc chẵn
 1.5.1. Tìm giá trị nhỏ nhất của một đa thức bậc chẵn
 2 2 2 2
 Tổng quát: A a1A1 a2A2 a3A3 ... a nAn c c
 Trong đó : a1,a2 ,....,a n ,c R;a1,a2 ,....,a n 0 và A1,A2 ,...,An là các đa thức 
chứa biến.
 A1 0
 A2 0
 Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi: 
 ....
 An 0
 => Giá trị nhỏ nhất của đa thức A là c
 1.5.2. Tìm giá trị lớn nhất của một đa thức bậc chẵn
 2 2 2 2
 Tổng quát: A a1A1 a2A2 a3A3 ... a nAn c c
 Trong đó : a1,a2 ,....,a n ,c R;a1,a2 ,....,a n 0 và A1,A2 ,...,An là các đa thức 
chứa biến.
 A1 0
 A2 0
 Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi : 
 ....
 An 0
 => Giá trị lớn nhất của đa thức A là c
 6/32 “Một số dạng Toán ứng dụng dạng toàn phương của đa thức bậc hai”
 CHƯƠNG 3
 MỘT SỐ DẠNG TOÀN PHƯƠNG CỦA ĐA THỨC BẬC HAI
 3.1. Dạng toàn phương của đa thức
 3.1.1. Tổng quát : 
 2 2 2 2
 Một đa thức bậc hai viết ở dạng a1A1 a2A2 a3A3 ... a nAn c trong 
đó a1;a2 ;a3;...;a n ;c là các số thực và A1;A2 ;A3;...;An là các đa thức chứa biến ta 
gọi là dạng toàn phương của đa thức bậc hai.
 3.1.2. Bài tập áp dụng
 Ví dụ 1. Viết đa thức sau ở dạng toàn phương
 a) A x2 8x 15
 b) B 3x2 5x 1
 c) C 2x2 3x 4 
 Giải: 
 a) A x2 8x 15 x2 2x.4 42 1 (x 4)2 1
 2 2 5 1 2 5 25 13 
 B 3x 5x 1 3 x x 3 x 2x. 
 3 3 6 36 36 
 b) 2 2
 5 13 5 13
 3 x 3 x 
 6 36 6 12
 2 2 3 2 3 9 41 
 C 2x 3x 4 2 x x 2 2 x 2x. 
 2 4 16 16 
 c) 2 2 
 3 41 3 41
 2 x 2 x 
 4 16 4 8
 Ví dụ 2. Viết đa thức sau ở dạng toàn phương:
 A x2 4xy 5y2 10x 22y 28
 Giải: 
 A x2 4xy 5y2 10x 22y 28 x2 4xy 10x 5y2 22y 28
 x2 2x(2y 5) (2y 5)2 (2y 5)2 5y2 22y 28
 (x 2y 5)2 y2 2y 1 2 (x 2y 5)2 (y 1)2 2
 Ví dụ 3. Viết đa thức sau ở dạng toàn phương: B x2 y2 xy x y
 Giải: 
 B x2 y2 xy x y
 x2 xy x y2 y
 2 2
 2 y 1 y 1 y 1 2
 x 2x. y y
 2 2 2 
 8/32 “Một số dạng Toán ứng dụng dạng toàn phương của đa thức bậc hai”
 A1 0
 2 2 2 2 A2 0
 a1A1 a2A2 a3A3 ... a nAn 0 
 ....
 An 0
 Trong đó a1,a2 ,a3,...,a n là các số thực cùng dấu.
 3.2.2. Bài tập áp dụng
 Ví dụ 1. Giải phương trình x2 y2 z2 t 2 1 x(y z t 1)
 ( Đề thi học sinh giỏi toán 9 Thành phố Hồ Chí Minh 2003 - 2004)
 Giải: 
x2 y2 z2 t 2 1 x(y z t 1)
 x2 y2 z2 t 2 1 x(y z t 1) 0
 2 2
 y z t 1 y z t 1 y z t 1
 2 2 2 2
 x 2x y z t 1 0
 2 2 2 
 2
 y z t 1 3 2 y(z t 1) 3 2 zt z t 3 2 3
 x y z t 0
 2 4 2 4 2 4 4
 2 2 2
 y z t 1 3 z t 1 z t 1 3 z t 1 3 zt z t 3 3
 2 2 2
 x y 2y z t 0
 2 4 3 3 4 3 4 2 4 4
 2 2
 y z t 1 3 z t 1 2 2 z(t 1) t 2 2 2
 x y z 2 t 0
 2 4 3 3 3 3 3
 2 2 2 2
 y z t 1 3 z t 1 2 z(t 1) t 1 2 t 1 2 2t 2
 2 2
 x y z 2 t 0
 2 4 3 3 2 2 3 2 3 3 3
 2 2 2
 y z t 1 3 z t 1 2 t 1 1 2 1
 x y z t t 0
 2 4 3 3 2 2 2
 2 2 2
 y z t 1 3 z t 1 2 t 1 1 2
 x y z t 1 0
 2 4 3 3 2 2
 2
 y z t 1 
 x 0 y z t 1
 2 x 0
 2
 2 
 z t 1 z t 1
 y 0 y 0 x 2
 3 3 
 y z t 1
 2 t 1 
 t 1 z 0
 z 0 
 2 2
 2 t 1 0
 t 1 0
 10/32 “Một số dạng Toán ứng dụng dạng toàn phương của đa thức bậc hai”
 Đưa vế trái của phương trình về dạng toàn phương ta được phương trình
 2
 3y 2(x 4) (x 4)2 0
 2 16
 3y 2(x 4) 0 3y 2(x 4) 0 y 
 3
 (x 4)2 0 x 4 0
 x 4
 16 
 Phương trình có nghiệm (x;y)= 4; 
 3 
 Ví dụ 4. Giải phương trình: ( ẩn x, y, z)
 4x2 2y2 10z2 5 2z 5 4xy 4xz 4yz 4x 2y 10z
 Giải:
 Đkxđ : z 5 / 2
 4x2 2y2 10z2 5 2z 5 4xy 4xz 4yz 4x 2y 10z
 4x2 2y2 10z2 4xy 4xz 4yz 4x 2y 10z 5 2z 5 0
 Đưa đa thức 4x2 2y2 10z2 4xy 4xz 4yz 4x 2y 10z 5 về dạng 
toàn phương ta được phương trình:
 (2x y z 1)2 (y 3z 2)2 2z 5 0
 2x y z 1 0 x 1
 y 3z 2 0 y 11
 2
 2z 5 0 
 z 5 tm
 2 
 Ví dụ 5. Tìm tất cả các cặp số (x;y) thỏa mãn phương trình sau :
 5x 2 x 2 y y2 1 0
 (Đề thi vào lớp 10, Thành phố Hà Nội năm 1994 - 1995)
 Giải :
 Ta có : Đkxđ : x 0
 5x 2 x 2 y y2 1 0
 5x 4 x 2 x y y2 1 0
 y2 2 x y x 4x 4 x 1 0
 2 2
 y x 2 x 1 0
 2 2
 y x 2 x 1 0
 1
 y x y 
 y x 0 2
 1 1
 2 x 1 0 x x tm 
 2 4
 12/32