Sáng kiến kinh nghiệm Giúp học sinh khai thác và phát triển từ những bài toán quen thuộc

 SKKN: ”Giúp HS khai thác và phát triển từ những bài toán quen thuộc”
 PHẦN A- ĐẶT VẤN ĐỀ
I-LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI:
 Cïng víi sù ph¸t triÓn cña ®Êt n­íc, sù nghiÖp gi¸o dôc còng kh«ng ngõng ®æi 
míi. C¸c nhµ tr­êng ®· ngµy cµng chó träng h¬n ®Õn chÊt l­îng gi¸o dôc toµn diÖn 
bªn c¹nh sù ®Çu t­ thÝch ®¸ng cho gi¸o dôc mòi nhän. Víi vai trß lµ m«n häc c«ng 
cô, bé m«n to¸n ®· gãp phÇn t¹o ®iÒu kiÖn cho c¸c em häc tèt c¸c bé m«n khoa häc 
tù nhiªn kh¸c.
 D¹y nh­ thÕ nµo ®Ó häc sinh kh«ng nh÷ng n¾m ch¾c kiÕn thøc c¬ b¶n mét c¸ch 
cã hÖ thèng mµ ph¶i ®­îc n©ng cao ®Ó c¸c em cã høng thó, say mª häc tËp lµ mét 
c©u hái mµ mçi thÇy c« chóng ta lu«n ®Æt ra cho m×nh. 
 §Ó ®¸p øng ®­îc yªu cÇu cña sù nghiÖp gi¸o dôc vµ nhu cÇu häc tËp cña häc 
sinh ®Æc biÖt lµ häc sinh kh¸, giái. §iÒu ®ã ®ßi hái trong gi¶ng d¹y chóng ta ph¶i biÕt 
ch¾t läc kiÕn thøc, ph¶i ®i tõ dÔ ®Õn khã, tõ cô thÓ ®Õn trõu t­îng vµ ph¸t triÓn thµnh 
tæng qu¸t gióp häc sinh cã thÓ ph¸t triÓn tèt t­ duy to¸n häc.Việc hướng dẫn học sinh 
khá giỏi giải một bài toán để đi đến kết quả với những người thầy thì không gặp khó 
khăn nhiều nhưng việc phát huy tính tích cực tính sáng tạo vốn có của các em học 
sinh khá giỏi là điều chúng ta cấn quan tâm hơn.Qua quá trình dạy học sinh khá giỏi 
tại trường và qua nhiều năm bồi dưỡng học sinh giỏi tôi thấy việc nhận thức về tư 
duy toán học của đa số học sinh còn mờ nhạt học sinh còn ít suy nghĩ, tìm tòi giải 
một bài toán nhất là các bài toán đòi hỏi tính kiên trì, sự sáng tạo cao do đó học sinh 
chưa phát huy hết những khả năng vốn có của mình rất nhiều em khá giỏi khi gặp 
những bài toán mới mặc dù chỉ là những bài toán được khai thác và phát triển từ 
những bài toán cơ bản quen thuộc nhưng các em vẫn lạ lẫm lúng túng không biết 
cách giải cũng như không biết cách phân tích khai thác từ bài toán lạ về thành bài 
toán quen thuộc hoặc khai thác và phát triển từ những bài toán quen thuộc cơ bản về 
thành hệ thống các bài toán khác. Trước những khó khăn đó mỗi giáo viên chúng ta 
luôn phải trăn trở là làm thế nào để khi dạy học sinh khá giỏi cũng như dạy đội tuyển 
học sinh giỏi có thể phát huy tối đa tố chất, sự sáng tạo của các em từ đó có kết quả 
 Giáo viên:Lại Quang Tuệ SKKN: ”Giúp HS khai thác và phát triển từ những bài toán quen thuộc”
-Áp dụng cho cả giáo viên và học sinh trong trường THCS nghiên cứu để bồi dưỡng 
và học tập
V-Điểm mới trong nghiên cứu:
-Học sinh sẽ không còn lúng túng trong việc giải các bài toán lạ khi đã biết cách đưu 
bài toán lạ về thành bài toán quen thuộc để giải.
-Học sinh biết hệ thống các bài toán, Biết cách tìm ra mối quan hệ, đặc điểm chung 
của từng dạng toán trên cơ sở có hướng giải bài toán và khai thác, phát triển chúng.
 PHẤN B-GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ:
Có rất nhiều bài toán quen thuộc với nhiều cách khai thác và phát triển từ bài toán 
quen thuộc đó.Trong đề tài này tôi xin đưa ra một số bài toán cơ bản và hướng dẫn 
học sinh cách khai thác và phát triển từ những bài toán quen thuộc đó. 
I-Các bài toán và cách hướng dẫn học sinh khai thác và phát triển 
 BÀI TOÁN A: Bài toán vận dụng BĐT |a| + |b| |a+b| dấu bằng xãy ra khi ab 0
Bài toán A : T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña : A= |x-1| + |x-2| Đây là một bài toán đơn 
giản mà học sinh thường bắt gặp
 Gi¶i : Ta cã A= |x-1| + |x-2| = |x-1| + |4-x| |x-1+2-x| = 1 
 Vậy A 1
 DÊu b»ng x¶y ra khi 1 x 2
 VËy A cã gi¸ trÞ nhá nhÊt lµ 1 khi 1 x 2
Với việc áp dụng BĐT trên và dạng toán trên ta phát triển thành các bài toán sau:
Bài toán 1:Tìm giá trị nhỏ nhất của 
 B=|x-1| + |x-2| +|x-3| 
 Gi¶i :
 Ta cã |x-1| + |x-3| = |x-1| + |3-x| |x-1+3-x| = 2 DÊu b»ng x¶y 
ra khi 1 x 3
Mà |x-2| 0 nên
 B=|x-1| + |x-2| +|x-3| 2
 1 x 3
Vậy B đạt giá trị nhỏ nhất khi B=2 khi x 2 
 x 2 0
Đây là bài toán mới thoạt đầu học sinh sẽ rất lúng túng trong cách giải giáo viên phải 
hướng dẫn học sinh cách ghép để sử dụng HĐT trên sao cho phù hợp nếu ghép 
 |x-1| + |x-2| hoặc |x-2| + |x-3| với nhau thì sử dụng HĐT trên sẽ không tìm được giá 
trị nhỏ nhất.
Tương tự ta có thể phát triển bài toán trên thành các bài toán sau:
Bài toán 3-Tìm giá trị nhỏ nhất của
 T=|x-1| + |x-2| +|x-3| + |x-4|.
 Giáo viên:Lại Quang Tuệ SKKN: ”Giúp HS khai thác và phát triển từ những bài toán quen thuộc”
Việc giải bài toán này giáo viên chỉ định hướng cho học sinh cách tách sau đó nhóm 
để vận dụng được HĐT trên.
Vận dụng HĐT trên ta có bài toán sau:
Bài toán 7:Giải phương trình 
 |2x-7| + |x-4| +2|x-5|=3
Với dạng toán này giáo viên có thể hướng dẫn các em giải PT theo cách xét khoảng 
nhưng trong trường hợp bài toán này giáo viên có thể hướng dẫn các em cách giải 
phương trình bằng việc áp dụng HĐT.
Giải: Ta có |2x-7| +2|x-5| |2x-7+10-2x| =3 mặt khác |x-4| 0 nên 
 |2x-7| + |x-4| +2|x-5| 3 dấu bằng xãy ra khi x=4 từ đó ta tìm được x=4 là nghiệm 
của phương trình.
Bài toán 8:Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
 P x2 2x 1 x2 6x 9
(Đề thi HSG lớp 9-Phòng GD-ĐT Cẩm xuyên năm học 2016-2017)
Giải : Ta có : 
 P (x 1)2 (x 3)2 x 1 3 x x 1 3 x 2
Vậy MinP= 21 x 3 
Thông qua bài toán 8 ta có thể xây dựng thành bài toán mới như sau :
Bài toán 9 : Giải phương trình sau :
 4x2 4x 1 9 12x 4x2 2
Thay đỗi một chút ta có bài toán khó hơn như sau :
Bài toán 10 : Giải phương trình sau :
 4x2 4x 1 2 9 12x 4x2 7 12x 4x2
Đây là một bài hay và khó đối với các em nếu chưa vận dụng thành thạo HĐT trên 
mặt các em chưa được học về cách giải PT vô tỷ bằng cách sử dụng tính đối nghịch ở 
hai vế phương trình để giải thì sẽ không biết hướng giải như thế nào ? Nhưng nếu đã 
học được cả hai phương pháp trên thì việc giải bài toán này là đơn giản .
Giải : 
 4x2 4x 1 2 9 12x 4x2 2x 1 2 3 2x
Ta có VT= 2x 1 3 2x 3 2x 2x 1 3 2x 3 2x
 2 3 2x 2
Dấu bằng xãy ra khi x=3/2
 2
 VP=2 2x 3 2 Dấu bằng xãy ra khi x=3/2
Vậy để VT=VP khi VT=VP=2 từ đó ta tìm được nghiệm của PT là x=3/2
 BÀI TẬP ÁP DỤNG :
Bài toán 1 :Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau :
 Giáo viên:Lại Quang Tuệ SKKN: ”Giúp HS khai thác và phát triển từ những bài toán quen thuộc”
 *NÕu thay a=x-y; b=y-z ; c=z-x th× a+b+c=0. Theo kÕt qu¶ trªn ta cã 
a3+b3+c3=3abc; suy ra (x-y)3+(y-z)3+(z-x)3=3(x-y)(y-z)(z-x). Nªn ta cã bµi to¸n 
sau:
Bµi toán 5:
 Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö:
 (x-y)3+(y-z)3+(z-x)3 
 3abc a3 b3 c3 a2 b2 c2
+Ta thÊy víi a+b+c=0 th× 3 . Ta cã bµi to¸n:
 abc abc bc ac ab
Bµi toán 6:
 Cho a, b, c lµ ba sè kh¸c 0 tho¶ m·n a+b+c = 0. 
 TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc: 
 a2 b2 c2
 ` P .
 bc ac ab
 Từ bài toán này nếu ta có thể thay đổi một chút ta có bài toán
Bài toán 7:
 Cho a, b, c lµ ba sè kh¸c 0 tho¶ m·n a-b-c = 0. 
 TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc: 
 a2 b2 c2
` P . (Đề thi HSG toán 8-huyện CX năm học 2015-2016)
 bc ac ab
Cũng từ bài toán 6 ta có a+b+c=0  a+b=-c a 2+2ab+b2=c2 c 2-a2-b2=2ab 
tương tự ta có b2-c2-a2=2ac ; a2-b2-c2=2bc
Với khai thác trên ta có bài toán sau :
Bài toán 8
Cho a, b, c lµ ba sè kh¸c 0 tho¶ m·n a+b+c=0. TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc: 
 a2 b2 c2
A 
 a2 b2 c2 b2 c2 a2 c2 a2 b2
 Bµi toán 9: Cho a3 + b3 + c3 = 3abc Tính 
 a b c 
 B 1 1 1 
 b c a 
 Giáo viên:Lại Quang Tuệ SKKN: ”Giúp HS khai thác và phát triển từ những bài toán quen thuộc”
 a b c 1
 a2 b2 c2 1
 3 3 3
 a b c 1
 a b c 1
 Bài toán 11 : Cho a2 b2 c2 1 Tính A a2002 b2003 c2004
 3 3 3
 a b c 1
 Tiếp tục vận dụng bài toán trên ta có bài toán sau :
 Bài toán 12 :
 Tính D= 3 2 5 3 2 5 +2 đây là một bài toán không khó ta thường bắt 
gặp trong bài toán rút gọn biểu thức của đại số 9 và có nhiều cách giải nhưng nếu ta 
vận dụng bài toán trên ta vẫn có thể giải được bài toán này :
 Giải :Đặt E= 3 2 5 3 2 5 E- 3 2 5 3 2 5 =0
 E3-(2 5 )-(2 5 )=3E 3 (2 5)(2 5) E3-3E-4=0(E-
1)(E2+E+4)=0
 E=1
*Tiếp tục khai thác bài toán trên :Nếu ta thay c bëi c+d vµo a 3 + b3 + c3 = 3abc ta 
®­îc:
 a3 + b3 + (c+d)3= 3ab(c+d)
 a3 + b3 + c3 +d3= 3ab(c+d) - 3cd(c+d)
 a3 + b3 + c3 +d3= 3(c+d)(ab-cd)
 Ta ®Õn víi bµi to¸n:
Bµi toán 13:
 Chøng minh r»ng nÕu a+b+c+d = 0 th×:
 a3 + b3 + c3 +d3= 3(c+d)(ab-cd).
Tiếp tục với kết quả của bài toán trên. 
 a3 + b3 + c3 - 3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ac) 
*nếu ta thay a bởi a và b bởi b và c bởi c ta có bài toán sau :
 Giáo viên:Lại Quang Tuệ SKKN: ”Giúp HS khai thác và phát triển từ những bài toán quen thuộc”
phân tích khai thác và phát triển bài toán trên thành hệ thống nhiều bài toán khác hay 
và khó.
 a3 b3 a2 b2
 Thật vậy từ a3+b3 ab(a+b)  a b a b
 ab b a
 Ta có 
 a2 b2
Bài toán 1 :Chứng minh a b 
 b a
 Cũng tương tự ta có 
 a3
Bài toán 2:Chứng minh b2 a2 ab
 b
 b3 c3
Từ bài toán 2 ta khai thác tiếp ta có c2 b2 bc ; a2 c2 ac
 c a
 Ta có 
Bài toán 3 :với a ;b ;c là các số dương chứng minh
 a3 b3 c3
 ab bc ac
 b c a
 a3 b3 c3 b3 a3 c3
 Cũng từ a b.Tương tự ta có b c; a c
 ab bc ac
 Ta có 
Bài toán 4 : với a ;b ;c là các số dương chứng minh
 a3 b3 b3 c3 c3 a3
 a b c
 2ab 2bc 2ac
Tiếp tục khai thác bài toán trên ta có :Từ a3+b3 ab(a+b)4(a3+b3) (a+b)3 Tương 
tự ta có 4(b3+c3) (b+c)3; 4(c3+a3) (a+c)3 Từ đây ta có bài toán sau:
 Bài toán 5: với a ;b ;c là các số dương chứng minh
 8(a3+b3+c3) (a+b)3+(b+c)3+(a+c)3
Tiếp tục khai thác tiếp bài toán trên: 
 Giáo viên:Lại Quang Tuệ SKKN: ”Giúp HS khai thác và phát triển từ những bài toán quen thuộc”
 3b3 3c3
 2b c; 2c a
b2 bc c2 c2 ca a2
Ta ®Ò xuÊt ®­îc bµi to¸n:
Bµi to¸n 8: Cho a, b, c > 0. Chøng minh r»ng:
 a3 b3 c3 a b c
a2 ab b2 b2 bc c2 c2 ca a2 3
TiÕp tôc khai th¸c :
Tõ a3+b3 ab(a+b) ta cã : 
a3+6b3 ab(a+b)+5b3 6b3-ab(a+b) 5b3 - a3 b(6b2-a2- ab) 5b3 - a3
 5b3 a 3
 b(a+3b)(2b-a) 5b3 - a3 2b-a 
 ab 3b 2
 5c 3 b3 5a 3 c 3
T­¬ng tù : 2c b , 2a c 
 bc 3c 2 ac 3a 3
Céng vÕ theo vÕ cña c¶ ba B§T trªn ta cã : 
5b3 a 3 5c 3 b3 5a 3 c 3
 + + a+b+c
ab 3b 2 bc 3c 2 ac 3a 3
Ta ®©y ta tiÕp tôc ®Ò xuÊt bµi to¸n:
Bµi to¸n 9: Cho a, b, c > 0. Chøng minh r»ng:
5b3 a 3 5c 3 b3 5a 3 c 3
 + + a+b+c
ab 3b 2 bc 3c 2 ac 3a 3
TiÕp tôc khai th¸c tõ : a3 b3 ab(a b) (*)
 a3 20b3 19b3 ab(a b) 20b3 ab(a b) 19b3 a3
 b(20b2 ab a2 ) 19b3 a3 b(20b2 5ab 4ab a2 ) 19b3 a3
 b[5b(4b a) a(4b a)] 19b3 a3 b(4b a)(a 5b) 19b3 a3
 19b3 a3
 (4b a)(ab 5b2 ) 19b3 a3 4b a
 ab 5b2
T­¬ng tù víi a, b, c > 0 th×:
 19c3 b3 19a3 c3
 4c b; 4a c
 cb 5c2 ac 5a2
 Giáo viên:Lại Quang Tuệ