Sáng kiến kinh nghiệm Bất đẳng thức và cực trị hình học

 Bất đẳng thức và cực trị hình học
 PHÒNG GIÁO DỤC –ĐÀO TẠO HUYỆN CƯ’MGAR
 TRƯỜNG THCS NGUYỄN TẤT THÀNH
 ====== *** ======
 ĐỀ TÀI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
 BẤT ĐẲNG THỨC VÀ 
 CỰC TRỊ HÌNH HỌC
 NGƯỜI THỰC HIỆN: BÙI THỊ HOA
 THÁNG 3 - NĂM 2017
Trường THCS Nguyễn Tất Thành GV thực hiện: Bùi Thị Hoa 1 Bất đẳng thức và cực trị hình học
 A. PHẦN MỞ ĐẦU
I . LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
 Chắc các bạn sẽ nói rằng : “ Bất đẳng thức và cực trị hình học “ chỉ là một trong 
những chủ đề về chứng minh hình học và đã có rất nhiều sách tham khảo cũng như các 
tài liệu mà các bạn đã viết và nghiên cứu về chủ đề này. Vậy tôi viết riêng về chủ đề này 
có nên chăng ? 
 Trong tất cả các cuộc thi học sinh giỏi toán: thi tự luận, thi Giải toán trên máy tính 
cầm tay, thi Violympic toán trên mạng, thì các bài toán cực trị và bất đẳng thức hình 
học luôn làm đau đầu các em học sinh, quý thầy cô dạy toán và các bậc phụ huynh yêu 
môn toán. Các bài toán cực trị và bất đẳng thức hình học luôn đa dạng và hội tụ rất nhiều 
kiến thức, kỹ năng và phương pháp giải toán sơ cấp. Và đây cũng là chủ đề hay được đề 
cập đến trong các đề thi vào các trường phổ thông chuyên. Vì vậy từ niềm đam mê, yêu 
thích bộ môn Hình học tôi mạnh dạn sưu tầm các bài toán về bất đẳng thức và cực trị 
hình học để làm tài liệu nghiên cứu cho bản thân cũng như để bồi dưỡng học sinh giỏi. 
II. ĐỐI TƯỢNG VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU
 - Học sinh lớp 7A1, 7A3, 9A3 năm học 2015- 2016, học sinh lớp 9A2 năm học 
2016- 2017 trường THCS Nguyễn Tất Thành – Huyện Cư’Mgar – Đăk Lăk.
 - Sách giáo khoa, sách giáo viên và các loại sách tham khảo khác.
III. NHIỆM VỤ-MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU.
 1.Nhiệm vụ
- Tìm hiểu thực trạng chất lượng của học sinh và cơ sở vật chất trước khi thực hiện đề tài.
- Nghiên cứu cơ sở lý luận của quá trình dạy học .
- Rút kinh nghiệm từ thực tiễn, đề xuất các giải pháp giúp cho việc nâng cao chất lượng 
giáo dục có hiệu quả hơn.
 2. Mục đích:
 Phục vụ công tác bồi dưỡng học sinh giỏi khối 9, đồng thời tạo nguồn cho các lớp 
trên, một phần nâng cao chất lượng đại trà, giúp các em học tập tích cực hứng thú , làm 
cho việc giải các bài toán hình học trở nên nhẹ nhàng, thêm yêu thích bộ môn .
IV. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
-Phương pháp điều tra .
-Phương pháp thống kê.
-Phương pháp tham khảo các tài liệu.
-Phương pháp thực nghiệm sư phạm : Cung cấp kiến thức cho học sinh qua mỗi bài học, 
thực hiện các tiết dạy chuyên đề.
-Đánh giá kết quả của học sinh qua các tiết giảng dạy thực nghiệm, qua bài tập củng cố 
và bài tập ở nhà.
-Phương pháp so sánh: Dùng biện pháp so sánh với các lớp có sử dụng phương pháp , 
phương tiện trực quan khác.
Trường THCS Nguyễn Tất Thành GV thực hiện: Bùi Thị Hoa 3 Bất đẳng thức và cực trị hình học
2. Ưu điểm của việc dạy chuyên đề “Bất đẳng thức và cực trị hình học”: 
 Vì chuyên đề “Bất đẳng thức và cực trị hình học” hội tụ rất nhiều kiến thức, kỹ 
năng và phương pháp giải toán nên học sinh được củng cố và khắc sâu kiến thức toán rất 
nhiều. Việc dạy chuyên đề “Bất đẳng thức và cực trị hình học” cũng để giáo viên mở 
rộng thêm kiến thức, sáng tạo hơn trong cách dạy qua đó giúp các em nâng cao kiến 
thức, phát huy tư duy học toán, hình thành những phẩm chất của con người sáng tạo.
3. Khó khăn của việc dạy chuyên đề “Bất đẳng thức và cực trị hình học”: 
 Vì chuyên đề “Bất đẳng thức và cực trị hình học” là một trong những chủ đề 
rất khó trong chương trình phổ thông cơ sở nên chủ yếu bồi dưỡng cho học sinh giỏi là 
chính còn về đại trà thường chỉ làm những bài toán bất đẳng thức và cực trị đơn giản để 
các em nắm được trình tự các bước giải mà không phải tư duy nhiều, ngoài ra việc tìm 
tòi lời giải cho một bài toán cực trị mất nhiều thời gian dẫn đến các em nản chí.
III. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ.
1.LÍ THUYẾT
 1.1.Các bất đẳng thức về góc
 a) Trong một tam giác thì góc tù là góc lớn nhất.
 b) Trong một tam giác thì góc ngoài lớn hơn mỗi góc trong không kề với nó.
 1.2. Các bất dẳng thức về đoạn thẳng.
 a) Cho ba điểm A, B, C ta luôn có: AB + BC AC
 Dấu “=” xảy ra khi ba điểm A, B, C thẳng hàng.
 b) Bất Đẳng thức tam giác: trong một tam giác ta luôn có: AB AC BC AB AC
 c) Trong một tam giác vuông thì cạnh huyền là cạnh lớn nhất.
 d) Nếu từ một điểm không thuộc đường thẳng ta kẻ các đường vuông góc và đường 
 xiên thì:
 - Đường vuông góc là đoạn thẳng ngắn nhất.
 - Hai đường xiên bằng nhau thì có hình chiếu bằng nhau và ngược lại.
 - Trong hai đường xiên không bằng nhau thì đường xiên nào có hình chiếu lớn hơn 
 thì lớn hơn và ngược lại.
 e) Liên hệ giữa dây cung và khoảng cách đến tâm đường tròn.
 Trong một đường tròn thì:
 - Hai dây cách đều tâm thì bằng nhau
 - Trong hai dây không bằng nhau dây nào cách xa tâm hơn thì nhỏ hơn và ngược lại.
 Ta cũng có:
 - Trong một đường tròn, hai dây bằng nhau trương hai cung bằng nhau.
 - Dây nào trương cung lớn hơn thì lớn hơn và ngược lại.
 1.3. Liên hệ giữa cạnh và góc trong tam giác.
 a) Trong một tam giác thì:
 - Đối diện với góc lớn hơn là góc lớn hơn và ngược lại.
 - Cạnh đối diện với góc tù là cạnh lớn nhất.
Trường THCS Nguyễn Tất Thành GV thực hiện: Bùi Thị Hoa 5 Bất đẳng thức và cực trị hình học
Bài 2: Cho tam giác ABC, AB > AC, vẽ BD  AC, CE  AB (D AC, E AB). 
Chứng minh rằng AB – AC > BD – CE 
 GIẢI:
Trên cạnh AB lấy diểm F sao cho AF = AC.
Vì AB > AC nên F nằm giữa A và B.
Vẽ FG  AC, FH  BD (G AC, H BD)
Ta có FG  AC, BD  AC (giả thiết) FG // BD.
Xét GFD ( F· GD = 90 ) và HDF ( D· HF = 90 )
có DF (cạnh chung), G· FD = H· DF (vì FG // BD).
Do đó GFD = HDF (cạnh huyền – góc nhọn)
Suy ra FG = HD, GH = FH
Xét GAF (G· AF = 90 ) và EAC ( ·AEC = 90 ) có: 
 AF = AC
 G· AF (góc chung)
Do đó GAF = EAC (cạnh huyền – góc nhọn)
Suy ra FG = CE. Do vậy GF = CE = HD
Ta có FH  BD nên FB > BH (quan hệ giữa đường xiên và đường vuông góc)
Suy ra AB – AC > BD – HD. Hay AB – AC > BD – CE.
Bài 3: Cho tam giác ABV cân tại A, trên cạnh AB lấy diển D, trên tia đối của tia CA 
lấy điểm E sao cho BD = CE. Chứng minh rằng: BC < DE.
 GIẢI
Gọi M là giao điểm của BC và DE.
Vẽ DI  BC tại I, EK  BC tại K
 IDB = KEC (cạnh huyền – góc nhọn)
 DI = EK, BI = CK
 BC = BI + IC = CK + IC = IK = IM + MK < DM + ME = DE
Bài 4: Cho tam giác ABC vuông tại A. vẽ AH  BC tại H. Chứng minh rằng: 
BC + AH > AB + AC.
 GIẢI:
Trên cạnh BC lấy D sao cho BD = AB.
Trên cạnh AC lấy E sao cho AE = AH, BD = AB
 BAD cân tại B B· AD = B· DA
Mà B· AD + D· AE = 90 , B· DA + H· AD = 90 
Nên H· AD = D· AE
 HAD = EAD (c.g.c) ·AHD ·AED
 DE  AC DC > EC
Do đó AH + AC = AH + BD + DC > AE + AB + EC = AB + AE + EC = AB + AC. 
Trường THCS Nguyễn Tất Thành GV thực hiện: Bùi Thị Hoa 7 Bất đẳng thức và cực trị hình học
Nên ·ABM > M· BC
Mà B· AM > B· CM ( ABC có BC > AB). 
Vậy ·AMB < B· MC
 B· MC > 90 M· DC > M· BC .
 Do vậy B· DC > 90 .
Bài 8. Cho tam giác ABC, M là trung điểm của BC. Chứng minh rằng :
 AB + AC > 2AM.
 GIẢI:
Trên tia đối của tia MA lấy điểm D sao cho MD = MA.
Xét MAB và MDC có: MA = MD, ·AMB D· MC (đối đỉnh)
MB = MC (giả thiết)
Do đó MAB = MDC (c.g.c) AB = DC
Xét ADC có CD + AC > AD (Bất đẳng thức tam giác)
Do đó AB + AC > AD mà AD = 2AM
Suy ra AB + AC > 2AM.
Bài 9: Cho tam giác ABC, M là điển nằm trong tam giác. Chứng minh rằng:
 MB + MC < AB + AC
 GIẢI:
Vẽ đường thẳng BM cắt AC tại D 
Vì M ở trong tam giác ABC nên D nằm giẵ A và C,
Suy ra: AC = AD + DC
Xét ABD có DB < AB + AD ( bất đẳng thức tam giác)
 MB + MD < AB + AD (1)
Xét MDC có MC > DC + MD (2)
(bất đẳng thức tam giác)
Cộng (1) và (2) vế theo vế ta có:
MB + MC + MD < AB + (AD + DC) MB + MC < AB + AC.
Bài 10. Cho tam giác ABC, M là điểm trên tia phân giác góc ngoài đỉnh C. Chứng 
minh rằng MA + MB > AC + BC.
 GIẢI:
Vẽ đường thẳng qua A vuông góc với đường thẳng 
MC cắt đường thẳng BC tại D, cắt MC tại H. 
Xét CAH có CH vừa là đường cao ( CH  AD),
 vừa là đường phân giác (gt).
 CAH cân tại C CA = CD, HA = HD
 MA = MD (Quan hệ giữa đường xiên và hình chiếu).
Trường THCS Nguyễn Tất Thành GV thực hiện: Bùi Thị Hoa 9 Bất đẳng thức và cực trị hình học
 AC CD
Nên và CE là đường phân giác trong của
 AB DB
 AC EA
tam giác ABC nên . Mà AB > BC.
 BC EB
 AC AC DC EA
Do đó < . Vậy 
 AB BC DB EB
 ABC có DK // AC 
 DC KA
theo định lí Ta-let trong tam giác ta có .
 DB KB
 KA EA KA EA
Do đó + 1 < + 1. 
 KB EB KB EB
 AB AB
Hay KB > EB.
 KB EB
 K không trùng E. Do vậy DE cắt AC, gọi M là giao điểm của DE và AC.
Ta có ·ADE > D· AM ( ·ADE là góc ngoài của tam giác DAM)
 D· AM = E· AD (gt). Do đó ·ADE > E· AD . 
Xét ADE có ·ADE > E· AD AE > DE (1)
Mặt khác D· CE = E· CA (gt), mà E· CA > C· ED ( E· CA là góc ngoài của CEM),
Do đó D· CE > C· ED . Xét DCE có D· CE > C· ED DE > CD (2)
Từ (1) và (2) ta có AE > DE > CD.
Bài 4. Cho tam giác ABC cân tại A. Trên cạnh BC lấy điểm D sao cho BD = 2CD. 
 1
So sánh C· AD và B· AD .
 2
 GIẢI:
Vẽ AE là đường phân giác của tam giác ADB.
Ta có ·ADB > ·ACB = ·ABC nên AB > AD.
 ABD có AE là đường phân giác 
 EB AB BD
 > 1 EB > ED EB > 
 ED AD 2
 BD
Gọi M là trung diểm của BD MB = . 
 2
Vậy M nằm giữa B và E. Nên B· AM < B· AE .
 1
 ABM = ACD (c.g.c) B· AM C· AD . Vậy C· AD < B· AD .
 2
Trường THCS Nguyễn Tất Thành GV thực hiện: Bùi Thị Hoa 11 Bất đẳng thức và cực trị hình học
 b) Với giá trị nào của k thì SDEF đạt giá trị nhỏ nhất.
Giải.Ta có 
 AD AB AD BD
 k 1 k 
 AB AB AB
 SCBD BD
 1 k SCBD 1 k .S
 SABC AB
 BE SBDE BE
Lại có: k k SBDE k.SDBC
 BC SDBC CB
Do đó SBDE = ( 1 – k).kS.
Tương tự ta có: SCFE = ( 1 – k).kS
 SDAF = ( 1 – k).kS
 2
 SDEF SABC (SBDE SCEF SAFD ) S 3k(1 k).S S(1 3k 3k )
 2
Vì S không đổi nên SDEF đạt giá trị nhỏ nhất khi tam thức 1 – 3k + 3k đạt giá trị nhỏ 
nhất
 2
 1 1 1
Ta có 1 – 3k + 3k2 = 3 k .
 2 4 4
 1 1
Dấu “=” xảy ra k 0 k 
 2 2
 1 1
Vậy với k = thì diện tích S đạt giá trị nhỏ nhất bằng S . Khi đó các điểm D, E, F 
 2 DEF 4
theo thứ tự là trung điểm của các cạnh AB, BC, CA.
Bài 8. Chứng minh rằng trong các tam giác vuông có chiều cao ứng với cạnh huyền 
không đổi, tam giác vuông cân có chi vi nhỏ nhất.
 Giải
Xét tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH, trung A
Tuyến AM. Chu vi tam giác ABC bằng
P = AB + BC + AC
Mà BC = 2AM 2AH
Dấu “ = “ xảy ra khi H  M
Ta có AB + AC 2 AB.AC
 C
 B H M
 = 2 AH.BC 2 AH.2AH 2AH 2
Dấu “=” xảy ra khi H  M
Do đó P = AB + BC + AC 2AH 2AH 2 2AH (1 2)
Vậy giá trị nhỏ nhất của P bằng 2AH (1 2) H  M tam giác ABCvuông cân tại A.
Trường THCS Nguyễn Tất Thành GV thực hiện: Bùi Thị Hoa 13