Báo cáo Sáng kiến Kinh nghiệm giảng dạy Chuyên đề: "Biến đổi các biểu thức hữu tỉ. Giá trị của phân thức"

 I - THÔNG TIN CHUNG VỀ SÁNG KIẾN
 1. Tên sáng kiến: “ Kinh nghiệm giảng dạy chuyên đề : Biến đổi các biểu thức hữu tỉ. 
Giá trị của phân thức.”
 2. Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Toán THCS.
 3. Tác giả:
 Họ và tên: Nguyễn Thị Anh Giới tính: Nữ
 Ngày, tháng, năm sinh: 18/4 /1980
 Trình độ chuyên môn: Đại học
 Chức vụ: Giáo viên
 Đơn vị công tác: Trường THCS Hưng Đạo
 Điện thoại: 0977982248 Email: anhnguyentb2410@gmail.com
 Tỷ lệ đóng góp tạo ra sáng kiến: 100%
 4. Đồng tác giả: không
 5. Chủ đầu tư tạo ra sáng kiến: Không
 6. Đơn vị áp dụng sáng kiến:
 Tên đơn vị: Trường THCS Hưng Đạo
 Địa chỉ: Thôn Nghĩa Xã Tây Lương - Tiền Hải - Thái Bình
 Điện thoại: 0366.286.664
 7. Thời gian áp dụng sáng kiến lần đầu: tháng 9 năm 2016
 II - BÁO CÁO MÔ TẢ SÁNG KIẾN
 1. Tên sáng kiến: “ Kinh nghiệm giảng dạy chuyên đề : Biến đổi các biểu thức hữu 
tỉ. Giá trị của phân thức.”
 2. Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Toán THCS.
 3. Mô tả bản chất của sáng kiến:
 3.1. Tình trạng giải pháp đã biết: 
 Sau nhiều năm trực tiếp giảng dạy học sinh và bồi dưỡng đội tuyển học sinh giỏi 
lớp 8, 9 tôi nhận thấy trong việc giảng dạy môn đại số còn nhiều mảng kiến thức 
mà học sinh còn nhiều lúng túng.Các bài toán về biến đổi các biểu thức hữu tỉ, giá 
trị của phân thức là một dạng toán cơ bản và thường gặp với học sinh lớp 8, 9 đặc 
biệt trong kì thi tuyển sinh vào THPT. Học sinh lớp 8 mới làm quen với phân thức 
đại số, các phép biến đổi phân thức đại số nên các em còn gặp nhiều lúng túng, kĩ 
năng biến đổi các biểu thức hữu tỉ chưa được tốt và còn những hạn chế trong việc 
xử lí các câu hỏi của dạng bài tập này. Với một bộ phận HS có lực học trung bình 
còn có tâm lí ”sợ” khi gặp bài tập rút gọn biểu thức. Trong khi đó thời lượng 
chương trình dành cho loại toán này chưa nhiều ( thời lượng chương trình 2 tiết: 
bài 9: Biến đổi các biểu thức hữu tỉ. Giá trị của phân thức (trang 55 – 59 SGK toán 
 1 A A
 a) Phân thức đối của kí hiệu bới 
 B B
 A C A C
 b) ( ) 
 B D B D
 3. Phép nhân 
 A C A.C
 . 
 B D B.D
 4. Phép chia
 a) Phân thức nghịch đảo của phân thức A khác 0 là B
 B A
 A C A.D C
 b) : ( 0)
 B D B.C D
3. Biểu thức hữu tỉ. Giá trị của phân thức
1. Biểu thức hữu tỉ
 Biểu thức hữu tỉ là một phân thức hoặc biểu thức biểu thị một dãy các phép toán 
: cộng, trừ, nhân, chia trên những phân thức.
2. Biến đổi một biểu thức hữu tỉ thành một phân thức
 Nhờ các quy tắc của các phép toán cộng, trừ, nhân, chia các phân thức ta có thể 
biến đổi một biểu thức hữu tỉ thành một phân thức.
3. Giá trị của phân thức
 - Khi làm những bài toán liên quan đến giá trị của phân thức thì trước hết phải 
tìm điều kiện của biến để giá trị tương ứng của mẫu thức khác 0. Đó chính là điều 
kiện để giá trị của phân thức được xác định.
 - Nếu tại giá trị của biến mà giá trị của một phân thức được xác định thì phân 
thức ấy và phân thức rút gọn của nó có cùng một giá trị.
B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN BIẾN ĐỔI CÁC BIỂU THỨC 
HỮU TỈ, GIÁ TRỊ CỦA PHÂN THỨC
 I/ TÌM ĐIỀU KIỆN XÁC ĐỊNH CỦA MỘT BIỂU THỨC
 Ví dụ 1
 Tìm điều kiện xác định của biểu thức 
 1 1 x 1
 A :
 x 2 x x 1 x 2 2x 1
 + Hướng dẫn tìm lời giải: Biểu thức A chứa biến ở mẫu, ta cho các mẫu khác 0. 
 3 2x 2 2 x 3 1 x 3 1
 P 
 x x 2 x x 2 x
 2x 2 2 x 1 x 2 x 1 x 1 x 2 x 1 
 x x(x 1) x(x 1)
 2x 2 2 x 2 x 1 x 2 x 1 
 x x x
 2x 2 2 x 2 x 1 x 2 x 1
 x
 2x 2 2x 2
 x
 2x 2 2x 2
 Vậy P với x 0; x 1
 x
+ Lỗi thường gặp của HS: Học sinh thường quy đồng dẫn đến bài toán phức tạp 
và không rút gọn được
 Ví dụ 3
 Rút gọn biểu thức
 1 1 x 1
 A : ( x 0; x 1)
 x 2 x x 1 x 2 2x 1
+ Phân tích tìm lời giải:
 Biểu thức A chứa dấu ngoặc, các phép tính cộng và chia. Ở đây các phân thức 
 của A không thể rút gọn tử cho mẫu được nên ta thực hiện biến đổi thông 
 thường : Trong ngoặc trước, ngoài ngoặc sau
+ Trình bày lời giải
 Với x 0; x 1 ta có
 1 1 x 1
 A :
 x 2 x x 1 x 2 2x 1
 1 1 x 1
 :
 x(x 1) x 1 (x 1) 2
 1 x (x 1) 2
 .
 x(x 1) x 1
 x 1
 x
 x 1
 Vậy A = với x 0; x 1
 x
 5 b. Có
 x 2 3
 x 2 3
 x 2 3
 x 1(ktm)
 x 5(tm)
 Thay x = - 5 vào biểu thức A ta có 
 5 1 6
 A = 
 5 5
 6
 Vậy A = khi x thỏa mãn x 2 3
 5
+ Lỗi thường gặp của HS: 
 Không đối chiếu với điều kiện xác định nên vẫn tính giá trị biểu thức tại x = 1
 * Phương pháp giải
 - Để tính giá trị của biểu thức tại những giá trị cho trước của biến, ta thay giá trị 
 cho trước đó vào biểu thức rồi thực hiện phép tính. Tuy nhiên cần kiểm tra xem 
 giá trị của biến đó có thỏa mãn điều kiện xác định của biểu thức hay không.
 - Khi chưa có giá trị của x ta phải tìm giá trị của x rồi làm tương tự như trên
 IV/TÌM ĐIỀU KIỆN CỦA BIẾN ĐỂ GIÁ TRỊ BIỂU THỨC THỎA MÃN 
ĐẲNG THỨC ĐÃ CHỈ RA
 Ví dụ 5
 1 1 x 1
 Cho A : .
 x 2 x x 1 x 2 2x 1
 Tìm x để 
 a) A có giá trị là số nguyên âm lớn nhất
 b) A 3
 x 4
 c) A. 3
 x 2
+ Phân tích tìm lời giải
 Trước tiên ta phải thu gọn biểu thức
 a) A là số nguyên âm lớn nhất A 1, thay vào giải phương trình ta tìm 
 được x
 7 + Lỗi thường gặp của HS
 - Tìm ra giá trị của x không đối chiếu với điều kiện *
 - HS thường quên điều kiện mới cho phương trình ở câu c (đk **)
 * Phương pháp giải
 - Cho biểu thức thu gọn thỏa mãn đẳng thức đã chỉ ra 
 - Giải phương trình trên, tìm x
 - Đối chiếu điều kiện và trả lời
 V/TÌM ĐIỀU KIỆN CỦA BIẾN ĐỂ GIÁ TRỊ BIỂU THỨC THỎA MÃN BẤT 
ĐẲNG THỨC ĐÃ CHO
 Ví dụ 6
 1 1 x 1
 Cho A : . 
 x 2 x x 1 x 2 2x 1
 Tìm x để
 a) Biểu thức A luôn dương
 b) A < 1
 + Phân tích tìm lời giải
 - Trước tiên phải rút gọn biểu thức (A = x 1 )
 x
 x 1
 - Biểu thức A luôn dương khi A > 0 0 khi và chỉ khi x – 1 và x cùng 
 x
 dấu. Từ đó ta có 2 trường hợp
 x 1 x 1 1
 - Để A < 1 1 1 0 0 suy ra tử và mẫu trái dấu mà -1 < 0 
 x x x
 nên x >0 
 + Trình bày lời giải
 x 1
 Theo ví dụ 3 ta có A = với x 0; x 1(*)
 x
a) Biểu thức A luôn dương 
 x 1
 0
 x
 x 1 0 x 1
 x 0 x 0 x 1
 x 1 0 x 1 x 0
 x 0 x 0
 9 - Cho biểu thức đã rút gọn thỏa mãn bất đẳng thức đã cho
 - Giải bất phương trình nhận được
 - Tìm được x đối chiếu điều kiện và kết tuận
 VI/ TÌM GIÁ TRỊ NGUYÊN CỦA BIỂN ĐỂ BIỂU THỨC NHẬN GIÁ TRỊ 
NGUYÊN
 Ví dụ 7
 2x 2 x 5
 Cho A .Tìm x nguyên để biểu thức nguyên
 x 3
 + Phân tích tìm lời giải
 Ta phân tích 
 2x 2 6x 7x 21 26
 A 
 x 3
 2x(x 3) 7(x 3) 26
 x 3
 26
 2x 7 
 x 3
 Sau đó cho 26 chia hết cho x + 3
 GV có thể hướng dẫn để mọi HS đều có thể tách được bằng cách thực hiện phép 
chia ra ngoài nháp như sau (tách theo những dòng thứ 2 và dư ( dòng in đậm))
 2x 2 - x +5 x + 3
- 
 2x2 + 6x 2x - 7
 - 7x + 5
 - 
 - 7x - 21
 26
 + Trình bày lời giải
 ĐKXĐ x 3
 11 Vậy x 4; 2; 1;1 thì A nhận giá trị nguyên
 * Phương pháp giải
- Thực hiện tách tử theo mẫu để tạo thành tổng 1 biểu thức nguyên và 1 phân thức 
có tử là số nguyên ( nếu không chia tử cho mẫu được ta thường phải nhân thêm 
với 1 biểu thức nguyên khác)
- Lí luận cho mẫu của phân thức là ước của tử thức
- Tìm biến, đối chiếu trả lời
VII/ TÌM GIÁ TRỊ CỦA BIẾN ĐỂ BIỂU THỨC CÓ GIÁ TRỊ NGUYÊN
Ví dụ 9 
 3x 2
 Cho B . Tìm x để B nhận giá trị nguyên
 x 2 1
+ Phân tích tìm lời giải
 GV cần để HS nhận thấy 2 dạng bài tập này hoàn toàn khác nhau. Ở đây là điều 
kiện để B nhận giá trị nguyên với bất kì giá trị nào của x ( không phải x nguyên). 
Vì vậy ta tìm cách chỉ ra B nằm trong một khoảng giá trị nào đó rồi chọn ra các giá 
trị nguyên ấy
+ Trình bày lời giải
 2
 2 2 3x
 Vì x 0x x 1 0 0 B 0(1)
 x2 1
 3x 2 3
 Có B 3 3 (2)
 x 2 1 x 2 1
 Từ (1) và (2) 0 B 3 mà B nhận giá trị nguyên nên B 0;1;2
 3x 2
 B 0 0 3x 2 0 x 0
 x 2 1
 3x 2 1
 B 1 1 3x 2 x 2 1 x 
 x 2 1 2
 3x 2
 B 2 2 3x 2 2x 2 2 x 2
 x 2 1
 1 
 Vậy x 0; ; 2 thì B nhận giá trị nguyên
 2 
+ Lỗi thường gặp của HS: 
Nhầm lẫn dạng bài 7 và dạng bài 8, giáo viên cần nhấn mạnh điểm khác nhau này.
 13 x 4 0x
 x 4 2x 2 0x
 2
 2x 0x
 x 4 2x 2 7 7
 1 1
 x 4 2x 2 7 7
 1
 A 
 7
 Dấu “=” xảy ra khi x = 0
 1
 Vậy giá trị lớn nhất của A bằng khi x = 0
 7
+ Lỗi thường gặp của HS
 2
 Tương tự như ví dụ trên ta thấy x 4 2x 2 7 x 2 1 6 6 Dấu “=” xảy ra khi 
x2 = -1 ( vô lí) vậy không tồn tại giá trị lớn nhất của biểu thức A
 Lời giải trên hoàn toàn sai!
 GV nhấn mạnh khi dấu “=” không xảy ra thì xuất phát từ điều kiện của x ta có 
thể trình bày lời giải như sau
Cách 2:
 2
 Ta có x 4 2x 2 7 x 2 1 6 
 Vì 
 x 2 0
 x 2 1 1
 2
 x 2 1 1
 2
 x 2 1 6 7
 1 1
 x 4 2x 2 7 7
 1
 A 
 7
 Dấu “=” xảy ra khi x = 0
 1
 Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức A = khi x = 0
 7
Ví dụ 12
 3x 2 8
 Cho A . Tìm giá trị lớn nhất của A
 x 2 2
+ Phân tích tìm lời giải
 Thực hiện chia nháp và tách tử theo mẫu như ví dụ 7
 15