Báo cáo Giải pháp Hướng dẫn học sinh tiếp cận bài toán "chứng minh họ các đường đi qua điểm cố định"

 Gi¶i ph¸p : H­íng dÉn häc sinh tiÕp cËn bµi to¸n 
 " chøng minh hä c¸c ®­êng ®i qua ®iÓm cè ®Þnh" 
 PhÇn I: ®Æt vÊn ®Ò 
1- lÝ do chän ®Ò tµi
 H×nh häc lµ m«n häc cã tÝnh tæng hîp cao, ®ßi hái häc sinh kh«ng nh÷ng ph¶i 
biÕt n¾m ch¾c c¸c kiÕn thøc, mµ cÇn ph¶i biÕt suy luËn vµ vËn dông kiÕn thøc mét 
c¸ch hîp lÝ.
 Trong c¸c k× thi häc sinh giái c¸c cÊp, thi tuyÓn sinh vµo c¸c tr­êng Trung häc 
phæ th«ng ë tØnh ta, rÊt nhiÒu n¨m trong bµi tËp h×nh cã yªu cÇu "Chøng minh hä 
c¸c ®­êng ®i qua ®iÓm cè ®Þnh" nh­ : §Ò thi chän häc sinh giái to¸n 8 cÊp tØnh 
n¨m häc 2001-2002; §Ò thi tuyÓn sinh vµo THPT n¨m häc 2000- 2001; Thi tuyÓn 
sinh vµo THPT Chuyªn Th¸i B×nh n¨m häc 2003-2004; 2007-2008; §Ò thi chän 
häc sinh giái to¸n 7 cÊp huyÖn n¨m häc 2013-2014; ...
 "Chøng minh hä c¸c ®­êng ®i qua ®iÓm cè ®Þnh" trong h×nh häc lµ mét 
d¹ng to¸n t­¬ng ®èi khã, bëi d¹ng to¸n nµy rÊt phong phó, nh­ng kh«ng cã kiÕn 
thøc riªng ®Ó gi¶i, mµ luyÖn tËp kÜ n¨ng nµy kh«ng ®­îc ph©n phèi thµnh tiÕt riªng 
trong ph©n phèi ch­¬ng tr×nh to¸n cña bé gi¸o dôc ®µo t¹o. 
 Thùc tr¹ng cßn cã mét bé phËn kh«ng nhá häc sinh häc ng¹i häc m«n h×nh, 
mét lÝ do phæ biÕn lµ c¸c em ch­a cã ph­¬ng ph¸p t­ duy thÝch hîp, nªn hiÖu qu¶ 
häc tËp bé m«n nãi chung vµ chuyªn ®Ò "Chøng minh hä c¸c ®­êng ®i qua ®iÓm 
cè ®Þnh " nãi riªng cßn ch­a cao. 
 VÊn ®Ò trªn ®Æt ra cho gi¸o viªn cÇn cã gi¶i ph¸p hîp lý c¶ vÒ mÆt thêi gian vµ 
ph­¬ng ph¸p truyÒn ®¹t nh»m n©ng cao chÊt l­îng gi¶ng d¹y nãi riªng , chÊt l­îng 
gi¸o dôc nãi chung.
1i- môc ®Ých nghiªn cøu ®Ò tµi
 §· cã nhiÒu t¸c gi¶ nghiªn cøu vÒ ®Ò tµi nµy, nh­ng phÇn lín chØ ®­a ra vÝ dô 
vµ lêi gi¶i bµi to¸n, mµ ch­a chØ râ ®Þnh h­íng chung ®Ó gi¶i quyÕt ®­îc bµi to¸n.
 §Ó gióp c¸c em dÔ dµng tiÕp cËn víi bµi to¸n "chøng minh hä c¸c ®­êng ®i 
qua ®iÓm cè ®Þnh" trong h×nh häc, ®ång thêi ph¸t huy c¸c n¨ng lùc s¸ng t¹o cho 
häc sinh, trong ®Ò tµi nµy t«i xin trao ®æi víi c¸c ®ång chÝ ®ång nghiÖp mét gi¶i 
ph¸p h­íng dÉn häc sinh tiÕp cËn bµi to¸n trªn mµ t«i ®· thö nghiÖm, thÊy cã tÝnh 
kh¶ thi vµ b­íc ®Çu ®· ®¹t nh÷ng kÕt qu¶ nhÊt ®Þnh.
III- ®èi t­îng nghiªn cøu
 C¸c bµi to¸n " Chøng minh hä c¸c ®­êng ®i qua ®iÓm cè ®Þnh " trong h×nh 
häc ph¼ng vµ c¸ch tiÕp cËn ®Ó gi¶i quyÕt ®­îc bµi to¸n trong ch­¬ng tr×nh Trung 
häc c¬ së 
IV- ph­¬ng ph¸p nghiªn cøu
 - Ph­¬ng ph¸p ph©n tÝch, tæng hîp; ®Æc biÖt ho¸; tæng qu¸t ho¸
 - Ph­¬ng ph¸p tÝch hîp
 - Ph­¬ng ph¸p thùc nghiÖm
 - Ph­¬ng ph¸p ®¸nh gi¸
* §Ó tiÕp tôc hoµn thiÖn h¬n n÷a, t«i rÊt mong ®­îc sù gióp ®ì vµ c¸c ý kiÕn 
®ãng gãp ch©n thµnh cña c¸c ®ång chÝ
 Xin tr©n träng c¶m ¬n c¸c ®ång chÝ!
 - 1 - - Gãc nµo cã sè ®o kh«ng ®æi.
 - Cung trßn nµo cã sè ®o kh«ng ®æi.
 - Chu vi, diÖn tÝch h×nh nµo kh«ng ®æi.
 - Nh÷ng ®¹i l­îng nµo kh¸c kh«ng ®æi? 
3/ X¸c ®Þnh ®iÓm cÇn chøng minh cè ®Þnh: 
 Cho yÕu tè di ®éng ch¹y ®Õn vÞ trÝ thø hai (th­êng lµ vÞ trÝ ®Æc biÖt), khi ®ã 
®­êng d ch¹y ®Õn vÞ trÝ ®Æc biÖt d1 vµ d1 sÏ c¾t d ë vÞ trÝ lóc ®Çu ë ®iÓm S, ta cÇn 
chøng minh S lµ ®iÓm cè ®Þnh 
4/ X¸c ®Þnh quan hÖ cña S víi c¸c yÕu tè cè ®Þnh 
- §iÓm cè ®Þnh th­êng lµ giao cña 2 ®­êng cè ®Þnh, nªn ta cÇn x¸c ®Þnh xem S cã 
quan hÖ nh­ thÕ nµo víi c¸c yÕu tè cè ®Þnh vµ yÕu tè kh«ng ®æi (gåm c¸c quan hÖ 
song song, vu«ng gãc, b»ng nhau, ®ång d¹ng, t¹o thµnh h×nh ®Æc biÖt, c¸ch ®Òu 1 
®iÓm hay 1 ®­êng cè ®Þnh; ...), tõ ®ã chØ ra S thuéc ®­êng d2 cè ®Þnh.
- S lµ giao ®iÓm cña 2 ®­êng cè ®Þnh d1 vµ d2 suy ra S cè ®Þnh.
I-2. Lµm
1/ CÊp ®é 1: Chøng minh hä ®­êng d lu«n ®i qua ®iÓm S cè ®Þnh ®· cã s½n 
trªn h×nh vÏ:
C¸ch lµm:
B­íc 1: ChØ ra S thuéc d
B­íc 2: LËp luËn yÕu tè cè ®Þnh, yÕu tè kh«ng ®æi ®Ó suy rs S lµ ®iÓm cè ®Þnh
B­íc 3: KÕt luËn
* Chó ý: NÕu S ch­a thuéc d, ®Ó lµm b­íc 1 ta cã thÓ lµm theo mét trong c¸c 
ph­¬ng ¸n sau: 
a/ Ph­¬ng ¸n 1: Chøng minh trùc tiÕp ®iÓm S thuéc ®­êng d
* NÕu d lµ ®­êng th¼ng, ta cã thÓ chøng minh b»ng 1 trong c¸c c¸ch sau:
- C¸ch 1: ChØ ra S cïng víi 2 ®iÓm kh¸c trªn d lµ 3 ®iÓm th¼ng hµng 
- C¸ch 2: ChØ ra S còng cã tÝnh chÊt cña nh÷ng ®iÓm n»m trªn d (th­êng dïng khi d 
lµ ®­êng ®Æc biÖt nh­: ®­êng trung trùc cña ®o¹n th¼ng; tia ph©n gi¸c cña gãc; ...)
* NÕu d lµ ®­êng trßn (O; R) ta cã thÓ chøng minh b»ng 1 trong c¸c c¸ch sau:
- C¸ch 1: ChØ ra OS = R
- C¸ch 2: ChØ ra S cïng víi 3 ®iÓm ph©n biÖt kh¸c trªn d t¹o thµnh mét tø gi¸c néi 
tiÕp
- C¸ch 3: Dùa vµo quü tÝch cung chøa gãc
b/ Ph­¬ng ¸n 2: ChØ ra S ®· n»m trªn ®­êng d 1 cè ®Þnh, gäi giao ®iÓm cña d vµ d1 
lµ S1 råi ta chøng minh cho S trïng víi S1 
c/ Ph­¬ng ¸n 3: ChØ ra S lµ giao ®iÓm cña hai ®­êng cè ®Þnh d 1 vµ d2, råi ta chøng 
minh cho d; d1; d2 lµ ba ®­êng ®ång quy
2/ CÊp ®é 2: :"Chøng minh hä ®­êng d lu«n ®i qua ®iÓm S cè ®Þnh " mµ S 
ch­a cã trªn h×nh vÏ
 - B­íc 1: VÏ ®­êng d1 (ë b­íc nghÜ thø 3 trªn), ®­êng d1 c¾t ®­êng d t¹i S
 - 3 - C¸ch 1: KÎ Cx ┴ AC t¹i C; KÎ By ┴ AB t¹i B; A
gäi giao ®iÓm cña Cx vµ By lµ S ABS ACS 900 (1)
XÐt ∆ABS vµ ∆ACS cã: M
 ABS ACS 900(theo c¸ch vÏ)
 AB AC (V× ∆ABC c©n t¹i A (gt)) C E
 C¹nh huyÒn AS chung B D I
→ ∆ABS = ∆ACS (c¹nh huyÒn-c¹nh gãc vu«ng) 
→ SB = SC (2) (2 c¹nh t­¬ng øng) N
 S
 SB SC(theo(2))
 0
XÐt ∆MBS vµ ∆NCS cã: MBS SCN 90 (theo c¸ch vÏ)
 MB NC (v× ∆MBD = ∆NCE)
→ ∆MBS = ∆NCS (c-g-c) → SM = SN (3)(2 c¹nh t­¬ng øng)
Gäi I lµ trung ®iÓm cña ®o¹n th¼ng MN → IM = IN (4)
 SM SN(theo(3))
XÐt ∆MIS vµ ∆NIS cã: IM IN(theo(4)) 
 C¹nh SI chung
→ ∆MIS = ∆NIS (c-c-c) MIS NIS(5) (2 gãc t­¬ng øng)
Mµ MIS NIS 1800 (6) (Tæng 2 gãc kÒ bï)
Tõ (5); (6) MIS NIS 900 → SI ┴ MN t¹i trung ®iÓm I cña ®o¹n th¼ng 
MN → SI lµ ®­êng trung trùc cña ®o¹n th¼ng MN
V× A; B; C cè ®Þnh → ®­êng th¼ng AC vµ ®­êng th¼ng BC cè ®Þnh
→ By vµ Cx cè ®Þnh (V× Cx ┴ AC t¹i C; By ┴ AB t¹i B)
→ S cè ®Þnh (V× S lµ giao ®iÓm cña Cx vµ By). 
VËy khi D thay ®æi trªn c¹nh BC th× ®­êng trung trùc cña ®o¹n th¼ng MN lu«n ®i 
qua ®iÓm S cè ®Þnh
 M  B
* NÕu ®Æc biÖt ho¸ cho D ≡ B th× → ®­êng trung trùc d cña ®o¹n 
 E  N  C
th¼ng MN trïng víi ®­êng trung trùc d 1 cña ®o¹n th¼ng BC, tõ ®ã ta nghÜ tíi vÏ 
thªm ®­êng trung trùc d1 cña ®o¹n th¼ng BC; d1 c¾t ®­êng trung trùc d cña ®o¹n
 SM SN
 th¼ng MN t¹i S, dÔ thÊy ®­îc SB SC 
 ABS ACS ABS ACS(*)
Tõ ®ã → ∆MBS = ∆NCS (c-c-c) MBS NCS
 ACS NCS 900 (theo (*) vµ cã ACS NCS 1800 ) 
→ CS ┴ AC, v× AC cè ®Þnh → S cè ®Þnh. Ta cã c¸ch chøng minh thø hai 
C¸ch 2: T«i xin phÐp ®­îc tr×nh bµy tãm t¾t nh­ sau:
- VÏ d1 lµ ®­êng trung trùc cña ®o¹n th¼ng BC, d1 c¾t ®­êng trung trùc d cña ®o¹n 
th¼ng MN t¹i S . Gäi I; K thø tù lµ trung ®iÓm c¸c 
®o¹n th¼ng MN vµ CB
- Chøng minh ∆MIS = ∆NIS (c-g-c) → MS = NS
- Chøng minh ∆BKS = ∆CKS (c-g-c) → BS = CS
 - 5 - OE // SF
Theo c¸ch vÏ ta cã x
 OF // SE
→ Tø gi¸c OESF lµ h×nh b×nh hµnh A
Mµ cã tia OS lµ tia ph©n gi¸c cña xOy E
→ h×nh b×nh hµnh OESF lµ h×nh thoi O S t
→ SE = SF = OE (1)
 E OA;S AB; F OB
 F
XÐt AOB cã SE // OB
 SF // OA B
 (theo c¸ch vÏ h×nh vµ A €tia Ox; B €tia Oy) y
 SE AS
 OB AB
 (theo hÖ qu¶ cña ®Þnh lÝ Ta LÐt)
 SF SB
 OA AB
 SE SF AS BS AS BS AB
 1 (v× S n»m gi÷a A vµ B→ AS + BS = AB)
 OB OA AB AB AB AB
 1 1 1 1 1 1
 OE( ) 1(theo(1)) OE. 1(V× theo gt cã )→OE = 3 (®v®d)
 OB OA 3 OA OB 3
V× E € tia Ox cè ®Þnh vµ OE = 3 ®v®d → E cè ®Þnh 
V× xOy cè ®Þnh; E cè ®Þnh vµ ES // Oy → tia ph©n gi¸c Ot cña xOy cè ®Þnh vµ 
®­êng th¼ng ES cè ®Þnh → S cè ®Þnh (V× S lµ giao ®iÓm cña Ot vµ ES)
VËy ®­êng th¼ng AB lu«n ®i qua ®iÓm S cè ®Þnh
Bµi 3: Cho C lµ ®iÓm chÝnh gi÷a nöa ®­êng trßn t©m O ®­êng kÝnh BA. §iÓm M 
thuéc cung AC, trªn d©y BM lÊy N sao cho BN = AM. KÎ ®­êng th¼ng d vu«ng 
gãc víi BM t¹i N, chøng minh r»ng d lu«n ®i qua mét ®iÓm cè ®Þnh khi M di ®éng 
trªn cung AC
 (TrÝch ý d bµi thi tuyÓn sinh vµo THPT Chuyªn Th¸i B×nh n¨m häc 2002 - 2003) 
 S * Ph©n tÝch bµi to¸n:
 1- YÕu tè cè ®Þnh: 
 + §iÓm cè ®Þnh: A; B; C; O
 + §­êng cè ®Þnh: AB; CB; AC; 
 CO; (O); tiÕp tuyÕn cña ®­êng 
 trßn t¹i A; B; C vµ c¸c ®­êng chñ 
 yÕu cña ∆ABC
 C
 2- YÕu tè kh«ng ®æi:
 M - C¸c gãc 900; gãc 450 (gãc néi 
 tiÕp ch¾n cung AC; cung BC)
 - Sè ®o c¸c ®o¹n th¼ng AB; AC; 
 N CO; AO; BO; CB
 3- X¸c ®Þnh cè ®Þnh mµ d ®i qua
 A B
 O M di ®éng trªn cung AC, ta cã thÓ 
 cho M ®Õn A hoÆc ®Õn C
 - 7 - III- C¸c bµi tËp ®Ò nghÞ
Bµi 1: Tõ A ngoµi (O) kÎ c¸c tiÕp tuyÕn AB; AC víi (O) (B; C lµ 2 tiÕp ®iÓm, 
B ≠ C). §iÓm M thuéc cung nhá BC (M ≠ C; M ≠ B). Gäi H; I; K thø tù lµ h×nh 
chiÕu cña M trªn CB; BA; AC. BiÕt MB c¾t IH t¹i E; MC c¾t IK t¹i F
1/ C/minh: a/ MI2 = MH. MK b/ EF ┴ MI
2/ §­êng trßn ngo¹i tiÕp ∆MFK c¾t ®­êng trßn ngo¹i tiÕp ∆MEH t¹i ®iÓm thø hai 
lµ N, chøng minh r»ng khi M thay ®æi trªn cung BC nhá th× ®­êng th¼ng MN lu«n 
®i qua mét ®iÓm cè ®Þnh 
 (TrÝch ®Ò thi tuyÓn sinh THPT Chuyªn Th¸i B×nh 2007-2008)
Bµi 2: H×nh vu«ng ABCD, ®iÓm P n»m trong ∆ABC 
a/ Gi¶ sö cho gãc BPC = 1350, chøng minh: 2PB2 + PC2 = PA2
b/ AP; CP thø tù c¾t BC; AB t¹i M; N. Gäi Q ®èi xøng víi B qua trung ®iÓm cña 
MN. Chøng minh khi P thay ®æi trong ∆ABC th× PQ lu«n ®i qua mét ®iÓm cè ®Þnh. 
 (TrÝch ®Ò thi tuyÓn sinh vµo líp 10 Chuyªn - §¹i häc Quèc gia Hµ néi 2006)
Bµi 3: Tõ C n»m ngoµi (O; R) vÏ c¸t tuyÕn CAB tíi (O). VÏ ®­êng kÝnh MN vu«ng 
gãc víi d©y AB t¹i trung ®iÓm D cña d©y AB (M thuéc cung AB lín). MC c¾t (O) 
t¹i ®iÓm thø hai lµ I, AB c¾t NI t¹i K.
a/ Chøng minh tø gi¸c MDIK néi tiÕp
b/ Chøng minh CI. CM = CK. CD ; AI. BC = AC.BI
c/ Cho A; B; C cè ®Þnh, ®­êng trong (O) thay ®æi nh­ng vÉn qua A; B. Chøng minh 
NI lu«n ®i qua mét ®iÓm cè ®Þnh
 (TrÝch ®Ò thi cuèi n¨m to¸n 9 cña SGD Th¸i B×nh 2003-2004)
Bµi 4: Cho A; C; B th¼ng hµng theo thø tù ®ã, trªn tia Cx vu«ng gãc víi AB lÊy D; 
 CE CA
E sao cho 3 . §­êng trßn ngo¹i tiÕp ∆ADC vµ ®­êng trßn ngo¹i tiÕp 
 CB CD
∆BCE c¾t nhau t¹i ®iÓm thø hai lµ H kh¸c C.
 a/ C/m: A; D; H vµ B; H; E th¼ng hµng
 b/ C thay ®æi trªn c¹nh AB th× HC lu«n ®i qua mét ®iÓm cè ®Þnh
Bµi 5: Cho ∆ABC; trªn c¹nh AB lÊy M, trªn c¹nh AC lÊy N sao cho BM = CN. 
 Chøng minh: MN lu«n ®i qua mét ®iÓm cè ®Þnh khi M; N di ®éng
Bµi 6: Cho tam giác ABC các góc đều nhọn, cạnh BC cố định. Các đường cao
của tam giác ABC là AD, BE, CF. Đường thẳng EF cắt BC tại P. Đường thẳng đi
qua D song song EF cắt AC tại R và cắt AB ở Q. Chứng minh đường tròn ngoại
tiếp tam giác PQR luôn đi qua một điểm cố định khi điểm A di ®éng
Bµi 7: Cho góc vuông xOy. Các điểm A và B theo thứ tự di chuyển trên các tia
Ox và Oy sao cho OA + OB = k (k không đổi). Vẽ các đường tròn (A; OB), và (B;
OA). Gọi M, N là các giao điểm của (A) và (B). Chứng minh đường thẳng MN
luôn đi qua một điểm cố định
Bµi 8: Cho ∆ABC. M trªn BC, §­êng trßn qua M tiÕp xóc víi BA t¹i B vµ ®­êng 
trßn qua M tiÕp xóc víi AC t¹i C c¾t nhau t¹i P. Chøng minh PM ®i qua mét ®iÓm 
cè ®Þnh khi M thay ®æi trªn BC
Bµi 9: Cho đường tròn (O) và dây cung AB. Lấy điểm E trên dây cung AB (E
khác A và B). Qua E vẽ dây cung CD của đường tròn (O). Trên hai tia DA, DB lấy
hai điểm P, Q đối xứng qua E. Chứng minh rằng đường tròn (I) tiếp xúc với PQ tại
E và đi qua C luôn đi qua một điểm cố định khi E di động trên dây cung AB.
 - 9 -